Base di uno spazio vettoriale
Ciao sto studiando Algebra lineare e sto facendo gli esercizi dell'Herstein (numero 9,10 pag 217, il capitolo Spazi con prodotto scalare) e non so come trovare una base di
$V={y=f(x): (d^2y) / dx^2 + 9y=0}$
Non mi è chiaro se devo risolvere l'equazione differenziale o cos'altro fare...
L'esercizio in realtà è più lungo, e chiede di dimostrare che V è uno spazio vettoriale e di trovare una sua base ortonormale (definito il prodotto scalare).
Io lo farei trovando una base e poi usando Gram-Schmidt.
E sul fatto della dim che è uno spazio vettoriale, invece di fare la verifica lunga, posso dire che è SV semplicemente dimostrando che è un sottospazio dello spazio delle funzioni derivabili n volte?
Grazie e ciao a tutti!
$V={y=f(x): (d^2y) / dx^2 + 9y=0}$
Non mi è chiaro se devo risolvere l'equazione differenziale o cos'altro fare...
L'esercizio in realtà è più lungo, e chiede di dimostrare che V è uno spazio vettoriale e di trovare una sua base ortonormale (definito il prodotto scalare).
Io lo farei trovando una base e poi usando Gram-Schmidt.
E sul fatto della dim che è uno spazio vettoriale, invece di fare la verifica lunga, posso dire che è SV semplicemente dimostrando che è un sottospazio dello spazio delle funzioni derivabili n volte?
Grazie e ciao a tutti!
Risposte
Devi risolvere l'equazione differenziale, non dovrebbe essere troppo complicato.
no questo esercizio no ma ce n'è un secondo un po' peggio e le eq diff non sono mai state un mio forte
comunque grazie
comunque grazie
ho scritto una cosa sopra forse non molto corretta...
dicevo che per dimostrare che insiemi come quello dell'esercizio sono degli spazi vettoriali, basta che dimostri che siano sottospazi dello spazio delle funzioni derivabili n volte.
Ora non so perchè ho scirtto anche "derivabili n volte".
Basterebbe dimostrare che sono sottospazi dello spazio delle funzioni in generale
Visto che comunque V è un sottoinsieme dello spazio delle funzioni, basta far vedere che
$AA a , b in RR$ e $ AA f , g in V, $
$af+bg in V$
E' solo per accorciare la verifica coi 10 assiomi, l'ho già fatta troppe volte nella mia breve vita...
Sto sbagliando qualcosa?
dicevo che per dimostrare che insiemi come quello dell'esercizio sono degli spazi vettoriali, basta che dimostri che siano sottospazi dello spazio delle funzioni derivabili n volte.
Ora non so perchè ho scirtto anche "derivabili n volte".
Basterebbe dimostrare che sono sottospazi dello spazio delle funzioni in generale
Visto che comunque V è un sottoinsieme dello spazio delle funzioni, basta far vedere che
$AA a , b in RR$ e $ AA f , g in V, $
$af+bg in V$
E' solo per accorciare la verifica coi 10 assiomi, l'ho già fatta troppe volte nella mia breve vita...
Sto sbagliando qualcosa?
Risolvendo l'equazione differenziale dell' esercizio si trova che due soluzioni linearmente indipendenti sono : $ cos (3x) ; sin (3x) $.
Quindi una base di $V $ è data da $[ cos(3x);sin(3x)] $ e ovviamente Dim $V = 2 $.
I due vettori che costituiscono la base sono ortogonali in quanto il loro prodotto scalare $ int_0^(2pi) sin(3x)*cos(3x)dx =0 $ ma non sono versori.
Infatti $||v||^2 =int_0^(2pi) cos^2(3x)dx=int_0^(2pi)sin^2(3x)dx= pi ne 1 $ .
Normalizzo allora i vettori della base che diventano : $ cos(3x)/sqrt(pi); sin(3x)/sqrt(pi) $ e ottengo cosi una base ortonormale di vettori.
Quindi una base di $V $ è data da $[ cos(3x);sin(3x)] $ e ovviamente Dim $V = 2 $.
I due vettori che costituiscono la base sono ortogonali in quanto il loro prodotto scalare $ int_0^(2pi) sin(3x)*cos(3x)dx =0 $ ma non sono versori.
Infatti $||v||^2 =int_0^(2pi) cos^2(3x)dx=int_0^(2pi)sin^2(3x)dx= pi ne 1 $ .
Normalizzo allora i vettori della base che diventano : $ cos(3x)/sqrt(pi); sin(3x)/sqrt(pi) $ e ottengo cosi una base ortonormale di vettori.
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