Base di uno spazio vettoriale
Ciao a tutti,
ho una domanda da porre sull' argomento in oggetto.
Sappiamo che, la dimensione di un certo spazio vettoriale $V$ si definisce supponendo che
$V$ sia finitamente generato, cioè supposto che V possiede una base finita.
Mi chiedo però per quale motivo esiste questo teorema:
" Sia $V$ uno spazio vettoriale con $dimV=n$.
Se $\vec v_1$,$\vec v_2$,..$\vec v_n$ sono linearmente indipendenti, allora ${\vec v_1,\vec v_2,..,\vec v_n}$ sono una base per $V$ "
Mi pongo la domanda perchè il teorema mi sembra ridondante, dato che nel momento in cui si suppone che $dimV=n$,
è scontato che V deve essere ovviamente uno spazio finitamente generato(dalla definizione di dimensione), altrimenti non ha senso dire che $V$ ha dimensione finita.
E oltre a questo è scontato che per avere uno spazio finitamente generato, i vettori $\vec v_1,\vec v_2,..,\vec v_n$ devono essere
linearmente indipendenti, altrimenti l' insieme di questi vettori non sarebbe una base.
Potreste aiutarmi a chiarire il dubbio?
Credo sia chiara la mia domanda, in caso contrario cerco di spiegarmi meglio.
Grazie mille in anticipo
ho una domanda da porre sull' argomento in oggetto.
Sappiamo che, la dimensione di un certo spazio vettoriale $V$ si definisce supponendo che
$V$ sia finitamente generato, cioè supposto che V possiede una base finita.
Mi chiedo però per quale motivo esiste questo teorema:
" Sia $V$ uno spazio vettoriale con $dimV=n$.
Se $\vec v_1$,$\vec v_2$,..$\vec v_n$ sono linearmente indipendenti, allora ${\vec v_1,\vec v_2,..,\vec v_n}$ sono una base per $V$ "
Mi pongo la domanda perchè il teorema mi sembra ridondante, dato che nel momento in cui si suppone che $dimV=n$,
è scontato che V deve essere ovviamente uno spazio finitamente generato(dalla definizione di dimensione), altrimenti non ha senso dire che $V$ ha dimensione finita.
E oltre a questo è scontato che per avere uno spazio finitamente generato, i vettori $\vec v_1,\vec v_2,..,\vec v_n$ devono essere
linearmente indipendenti, altrimenti l' insieme di questi vettori non sarebbe una base.
Potreste aiutarmi a chiarire il dubbio?
Credo sia chiara la mia domanda, in caso contrario cerco di spiegarmi meglio.
Grazie mille in anticipo
Risposte
infatti puo' sembrare un po' ridondante ma vedila cosi':
$1)$Essere uno spazio vettoriale $V$ con dimensione $n$ finita vuol dire ammettere una base finita di $n$ vettori.$2)$La base di uno spazio vettoriale verifica che essa e' un insieme di generatori e se prendi un numero finito $n$ di vettori dello spazio questi sono linearmente indipendenti.(calcola che esistono spazi di dimensione infinita come i polinomi $R[x]$:$R[x]$ non ha una base finita per cui la sua dimensione e' infinita,per questo nasce questa distinzione:base finita allora dimensione finita!)
Passando al teorema per ipotesi questi $n$ vettori sono linearmente indipendenti e quindi se lo sono, sono un insieme di generatori e quindi una base, e se $V$ ha una base(vedi proposizione $1)$) allora $V$ ha dimensione finita.
Viceversa se questi $n$ vettori sono una base allora sono linearmente indipendenti per definizione.
$1)$Essere uno spazio vettoriale $V$ con dimensione $n$ finita vuol dire ammettere una base finita di $n$ vettori.$2)$La base di uno spazio vettoriale verifica che essa e' un insieme di generatori e se prendi un numero finito $n$ di vettori dello spazio questi sono linearmente indipendenti.(calcola che esistono spazi di dimensione infinita come i polinomi $R[x]$:$R[x]$ non ha una base finita per cui la sua dimensione e' infinita,per questo nasce questa distinzione:base finita allora dimensione finita!)
Passando al teorema per ipotesi questi $n$ vettori sono linearmente indipendenti e quindi se lo sono, sono un insieme di generatori e quindi una base, e se $V$ ha una base(vedi proposizione $1)$) allora $V$ ha dimensione finita.
Viceversa se questi $n$ vettori sono una base allora sono linearmente indipendenti per definizione.
A me sembra che si possa dire in molte meno parole per la verità. Tu Alxxx giustamente dici che per ipotesi hai supposto l'esistenza di un sistema finito di generatori. Ma non hai informazioni né su quanti siano effettivamente questi generatori, ne su quali essi siano. Questo teorema ti fornisce un criterio per risolvere entrambe le questioni. Quanti generatori? Ne basteranno $n$. Quali? Esattamente tutti e soli gli insiemi di $n$ vettori linearmente indipendenti. Semplice ed efficacissimo: è il sistema migliore per trovare delle basi, nonché una delle proposizioni più utili di tutta l'algebra lineare, altro che ridondante! 
dovrebbe servire per chiarire la relazione biunivoca del fatto che se uno spazio è finitamente generato da vettori indipendenti allora i vettori formano una base,come una base è tale se e solo se è formata da n (n=dimV)vettori indipendenti
ciò fornisce infatti la possibilità di trovare una base senza doversi assicurare che tali vettori siano generatori
ciò fornisce infatti la possibilità di trovare una base senza doversi assicurare che tali vettori siano generatori
grazie a tutti per il tempo dedicato
Non mi è ancora perfettamente chiaro il discorso.
Come dice legendre, ovviamente esistono spazi vettoriali con dimensione infinita. E dato che nel teorema non è specificato che
$dimV$ si suppone finita, l' ipotesi è verificata anche quando $V$ ha dimensione infinita?
sappiamo però che $n$ è il max numero di vettori lin. indipendenti di una base di $V$, (dato che $dimV=n$), e di certo il n° di
generatori non può essere minore di $n$, perchè in questo caso non avrebbe senso dire che $n$ è la dimensione di $V$.
Quindi il n° di generatori può essere maggiore o uguale a $n$, esatto?
E' corretto il mio ragionamento?
Non mi è ancora perfettamente chiaro il discorso.
Come dice legendre, ovviamente esistono spazi vettoriali con dimensione infinita. E dato che nel teorema non è specificato che
$dimV$ si suppone finita, l' ipotesi è verificata anche quando $V$ ha dimensione infinita?
"dissonance":
Ma non hai informazioni né su quanti siano effettivamente questi generatori
sappiamo però che $n$ è il max numero di vettori lin. indipendenti di una base di $V$, (dato che $dimV=n$), e di certo il n° di
generatori non può essere minore di $n$, perchè in questo caso non avrebbe senso dire che $n$ è la dimensione di $V$.
Quindi il n° di generatori può essere maggiore o uguale a $n$, esatto?
E' corretto il mio ragionamento?
"Alxxx28":Proprio per niente. In dimensione infinita cambia tutto e risultati semplici e funzionali come questo te li scordi.
grazie a tutti per il tempo dedicato
Non mi è ancora perfettamente chiaro il discorso.
Come dice legendre, ovviamente esistono spazi vettoriali con dimensione infinita. E dato che nel teorema non è specificato che
$dimV$ si suppone finita, l' ipotesi è verificata anche quando $V$ ha dimensione infinita?
sappiamo però che $n$ è il max numero di vettori lin. indipendenti di una base di $V$, (dato che $dimV=n$), e di certo il n° diCertamente. Infatti la dimensione di uno spazio vettoriale si può definire (è la definizione che preferisco, per inciso - mi pare che sia la stessa che adotti tu) come il minimo numero di vettori necessari a generare tutto lo spazio, ovvero, intuitivamente, come il minimo numero di parametri necessari ad individuare ogni vettore dello spazio. Che è poi la definizione di dimensione che conosci dalla scuola elementare: un foglio di carta ha due dimensioni, lunghezza e larghezza - detto più formalmente, per individuare ogni punto di un foglio di carta occorre specificare non meno di due parametri numerici. Per un volume solido devi introdurre la dimensione "altezza", due dimensioni non bastano più.
generatori non può essere minore di $n$, perchè in questo caso non avrebbe senso dire che $n$ è la dimensione di $V$.
Quindi il n° di generatori può essere maggiore o uguale a $n$, esatto?
E' corretto il mio ragionamento?
ok grazie ancora! Tutto chiaro ora
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