Base di uno spazio vettoriale

[Woody1]

Salve! Vi pongo la seguente domanda: dato uno spazio vettoriale V su un campo K, V ammette una base?
Saluti,

Woody

[david_e1]

Non vorrei dire una cavolata perche' di algebra so' poco o nulla, ma non esisteva mica un teorema che diceva che ogni spazio vettoriale ammette una base finita o infinita?

[leev]

una base può anche essere considerata infinita??

L.L

[Marco831]

A quanto mi risulta si, una base può essere anche infinita. Ad esempio in H1 puoi prendere come base i polinomi, che ovviamente è infinita.

[Woody1]

Però mi sorge un dubbio: se uno spazio vettoriale V ammette una base infinita B, è possibile che esistano vettori di V che si scrivono come combinazione lineare di infiniti elementi di B? Oppure ogni vettore è rappresentato da una combinazione lineare finita di elementi di B?

Esempio. V=R[x] . Base: B=insieme di 1,x,x^2,x^3... .
Ogni elemento di V si scrive come combinazione lineare finita degli elementi di B.

Esercizio. V=R[[x]] (anello delle serie formali su R). Trovare una base di V.

Woody

[Marco831]

Certo che esistono vettori che sono composti da una serie infinita di termini della base. Pensa a quello che fai quando esprimi una funzione sviluppandola in serie di fourier...
Per quanto riguarda anelli & company, non sono la persona giusta a cui chiedere. Sono un ingegnere. Conosco un po la teoria ma non ho idea di come fare un esercizio.

[Woody1]

Ok Grazie tante!
Saluti,

Woody

[debernasaverio]

ho appena superato l'esame di algebra e ti assicuro che un campo vettoriale ammette sempre una base, anche infinita:per le basi infinite non so dirti altro perché non sono trattate nel programma[^]