Base di uno spazio vettoriale

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Buonasera,

il mio docente di algebra lineare richiede la conoscenza della dimostrazione del seguente risultato:

Un sistema di vettori B di uno spazio vettoriale è una base se e solo se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.

Onestamente, non capisco a cosa possa riferirsi. Una delle tre condizioni del teorema di caratterizzazione? In ogni caso, come andrebbe dimostrato correttamente?

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Ciao, ti ringrazio per la disponibilità qui e nell'altro post! Onde non aprirne un terzo, pongo qui un secondo dubbio:
Qual è la differenza tra un sistema ordinato di vettori ed uno che non lo è? Qual è la condizione per la quale un sistema di vettori risulti ordinato?

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Sei stato chiarissimo, grazie di nuovo.

Ne ho un'altra ancora: il testo Geometria e Algebra (L.A. Lomonaco) propone la seguente proposizione:

Per ogni sistema, o anche sottoinsieme, S dello spazio vettoriale V, L(S) è un sottospazio di V.

L'affermazione mi risulta banale, la dimostrazione no. Suggerimenti?

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Più che una dimostrazione la tua è una definizione. Come dimostro algebricamente che l'insieme delle combinazioni lineari di n vettori è uno sottospazio?

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Quindi in parole povere la dimostrazione è nel fatto che, essendo S un sottoinsieme di V, al massimo può generare V (che può essere considerato a sua volta sottospazio di V stesso?), giusto?