Base di uno spazio vettoriale

[Edex1]

Salve ragazzi, studiando oggi ho incontrato sul libro il seguente corollario:

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. Ogni n-upla di vettori linearmente indipendenti è una base.

Il libro lo dimostra applicando il teorema del completamento.
Io ho pensato a un'altra dimostrazione, mi potreste dire se è corretta?

Supponiamo di avere un insieme di n vettori linearmente indipendenti: ${v_1,..,v_n} in V$ e supponiamo per assurdo che questi vettori non siano una base di V.
Allora $EE v in V t.c. {v_1,...,v_n,v}$ sono linearmente indipendenti.
Poichè la dimensione di uno spazio vettoriale è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che posso trovare nello spazio sono giunto a un assurdo perchè avrei n+1 vettori linearmente indipendenti.

Può andare bene o ho sfruttato implicitamente la tesi da qualche parte? E' questo il mio dubbio!
Grazie in anticipo per le risposte!

[killing_buddha]

L'assurdo vero e proprio puoi averlo solo supponendo che i tuoi $n$ vettori non siano dei generatori dello spazio (una base è definita come il minimo numero di generatori linearmente indipendenti). D'altra parte se una $n$-upla non genera lo spazio c'è un vettore che non si riesce a scrivere come una combinazione lineare degli $n$ vettori di partenza, e allora puoi mettere quel vettore in un insieme linearmente indipendente. La dimensione di $V$ allora non può essere meno di $n+1$, e questo è assurdo.

[Edex1]

Quindi in pratica quello che ho scritto va bene solo che devo supporre che l'insieme non sia un insieme di generatori e non che non sia una base, ho capito bene?
Devo richiedere che non siano dei generatori perché se fossero dei generatori non potrei trovare il v linearmente indipendente giusto?

[killing_buddha]

"Edex":Quindi in pratica quello che ho scritto va bene solo che devo supporre che l'insieme non sia un insieme di generatori e non che non sia una base, ho capito bene?
Devo richiedere che non siano dei generatori perché se fossero dei generatori non potrei trovare il v linearmente indipendente giusto?

Il problema è qui:

"Edex":$\exists v in V$ t.c. $\{v_1,...,v_n,v\}$ sono linearmente indipendenti.

Per negare che una $n$-upla di indipendenti sia una base puoi solo negare che generi. Allora se non genera esiste un altro vettore che non puoi scrivere come combinazione degli $n$ dati; ma allora la dimensione dello spazio deve essere più alta. Questo esercizio è praticamente una tautologia quando sai la definizione di base, ed è forse per quello che ti trae in inganno. La sostanza del discorso è: non è tant che esiste $v$ tale che la $n+1$-upla sia fatta di indipendenti, piuttosto esiste un vettore $v$ che non puoi scrivere come combinazione degli altri, e quindi esso è indipendente dagli altri e lo puoi aggiungere. Mancava un pezzo, ma le tautologie non sono fatte per evitare dettagli

[Edex1]

Ok perfetto ho capito, grazie!