Base di una topologia
Ciao,
un dubbio di base sulla definizione di base di una topologia (vedi per es. Sernesi - Geometria 2 oppure il link https://it.wikipedia.org/wiki/Base_%28topologia%29. Riguardo le proprieta' di una base il mio dubbio e' come mostrare che l'insieme vuoto deve esser necessariamente un elemento della base.
Ad es. consideriamo una famiglia formata da ${A,B,AnnB}$ con $AnnB$ non vuoto. Essa dovrebbe rappresentare una base $B$ per l'insieme unione $AuuB$ visto che soddisfa le proprietà richieste, tuttavia $B$ non contiene l'insieme vuoto.
Dove allora sta l'errore ?
grazie
un dubbio di base sulla definizione di base di una topologia (vedi per es. Sernesi - Geometria 2 oppure il link https://it.wikipedia.org/wiki/Base_%28topologia%29. Riguardo le proprieta' di una base il mio dubbio e' come mostrare che l'insieme vuoto deve esser necessariamente un elemento della base.
Ad es. consideriamo una famiglia formata da ${A,B,AnnB}$ con $AnnB$ non vuoto. Essa dovrebbe rappresentare una base $B$ per l'insieme unione $AuuB$ visto che soddisfa le proprietà richieste, tuttavia $B$ non contiene l'insieme vuoto.
Dove allora sta l'errore ?
grazie
Risposte
Per definizione, il sottoinsieme vuoto è un aperto\chiuso (in gergo inglese è un clopen; cfr. wikipedia.en) di ogni spazio topologico;
dato che una base topologica ha la funzione di dover generare tutti i sottoinsiemi aperti, il vuoto dev'esserne un elemento!
dato che una base topologica ha la funzione di dover generare tutti i sottoinsiemi aperti, il vuoto dev'esserne un elemento!
Dalla definizione di topologia, l'insieme vuoto è un aperto e ogni aperto è unione di elementi della base, ma [strike]l'unico modo[/strike] in cui
\begin{equation}
\bigcup_{i\in I}A_i=\emptyset
\end{equation}
è che \(A_i=\emptyset,\,\forall i\in I\), quindi \(\emptyset\in\mathcal{B}\).
edit: @j18eos mi hai battuto sul tempo
\begin{equation}
\bigcup_{i\in I}A_i=\emptyset
\end{equation}
è che \(A_i=\emptyset,\,\forall i\in I\), quindi \(\emptyset\in\mathcal{B}\).
edit: @j18eos mi hai battuto sul tempo
grazie per le risposte....
In realta' il mio dubbio e' legato a quanto riportato ad es al link di cui sopra
Nell'esempio che facevo prima preso $X = AuuB$ la famiglia di sottoinsiemi ${A,B,AnnB}$ (con $AnnB$ non vuoto) mi sembra soddisfi le 2 proprieta' richieste (in realta' la terza proprieta' e' equivalente alla seconda per quanto riportato al link wikipedia) senza per questo contenere l'insieme vuoto...
ps. citando il Sernesi
...ora cosa intende per "famiglia vuota elementi di $B$" ?
In realta' il mio dubbio e' legato a quanto riportato ad es al link di cui sopra
...nel senso che se X è un insieme privo di struttura topologica e B una famiglia di suoi sottoinsiemi che soddisfi le tre proprietà allora B è base di una topologia per X e questa, per quanto già detto, è l'unica topologia su X ad avere B come base.
Nell'esempio che facevo prima preso $X = AuuB$ la famiglia di sottoinsiemi ${A,B,AnnB}$ (con $AnnB$ non vuoto) mi sembra soddisfi le 2 proprieta' richieste (in realta' la terza proprieta' e' equivalente alla seconda per quanto riportato al link wikipedia) senza per questo contenere l'insieme vuoto...
ps. citando il Sernesi
\(\varnothing\) appartiene come unione della famiglia vuota di elementi di $B$
...ora cosa intende per "famiglia vuota elementi di $B$" ?
@cianfa Una famiglia di insiemi \(\displaystyle\mathcal{F}\) indiciata da un insieme \(\displaystyle I\) sarebbe una funzione biettiva \(\displaystyle f:I\to S_i\in\mathcal{F}\) ove \(\displaystyle S_i\) è un insieme.
Se \(\displaystyle I\) è l'insieme vuoto, allora si afferma che la famiglia è vuota; un modo complicato per affermare che consideri l'insieme vuoto.
In tal modo, puoi parlare di intersezioni su una famiglia vuota, ovvero di nuovo dell'insieme vuoto.
TI è chiaro?
Spero di non aver sbagliato in qualche passaggio...
Se \(\displaystyle I\) è l'insieme vuoto, allora si afferma che la famiglia è vuota; un modo complicato per affermare che consideri l'insieme vuoto.
In tal modo, puoi parlare di intersezioni su una famiglia vuota, ovvero di nuovo dell'insieme vuoto.
TI è chiaro?
Spero di non aver sbagliato in qualche passaggio...
Munkres la risolve in un altro modo: definisce una proposizione "vacuously true" se è della forma \(P\implies Q\), con \(P\) falsa; in questo modo volendo includere l'insieme vuoto nella base \(\mathcal{B}=\lbrace B_k\rbrace_{k=0}\) con \(B_0:=\emptyset\), dovresti mostrare che \(\forall x \in\emptyset\cap B_j=\emptyset\,\exists B_l\ni x:B_l\subseteq\emptyset\cap B_j\), ma questo è "vacuously true". Che poi dovrebbe essere il motivo per cui
\begin{equation}
\bigcup_{i\in\emptyset}A_i=\emptyset
\end{equation}
\begin{equation}
\bigcup_{i\in\emptyset}A_i=\emptyset
\end{equation}
ok, quindi (se ho capito bene) tecnicamente non e' richiesto che l'insieme \(\emptyset \) appartenga alla base \(\mathcal{B} \).
quel che conta e' come viene definita la topologia a partire da \(\mathcal{B} \): gli insiemi aperti della topologia $\tau$ derivata da \(\mathcal{B} \) sono tutti e soli quelli che si possono scrivere come unione degli elementi della base.
Ora se consideriamo la famiglia vuota di elementi di \(\mathcal{B} \) (ovvero la famiglia di insiemi indiciata prendendo \( I=\emptyset \) ) allora l'unione della famiglia vuota e' l'insieme vuoto che quindi abbiamo mostrato appartenere a $\tau$
E' corretto ?
grazie
quel che conta e' come viene definita la topologia a partire da \(\mathcal{B} \): gli insiemi aperti della topologia $\tau$ derivata da \(\mathcal{B} \) sono tutti e soli quelli che si possono scrivere come unione degli elementi della base.
Ora se consideriamo la famiglia vuota di elementi di \(\mathcal{B} \) (ovvero la famiglia di insiemi indiciata prendendo \( I=\emptyset \) ) allora l'unione della famiglia vuota e' l'insieme vuoto che quindi abbiamo mostrato appartenere a $\tau$
E' corretto ?
grazie
Corretto, prendendo
\begin{equation}
\bigcup_{\alpha\in\emptyset} B_{\alpha}
\end{equation}
riesci a generare \(\emptyset\) senza doverlo includere in \(\mathcal{B}=\lbrace B_{\alpha}\rbrace_{\alpha\in A}\), e sei a posto con la tua topologia
Scusa ma non ci avevo pensato / non me lo ricordavo
\begin{equation}
\bigcup_{\alpha\in\emptyset} B_{\alpha}
\end{equation}
riesci a generare \(\emptyset\) senza doverlo includere in \(\mathcal{B}=\lbrace B_{\alpha}\rbrace_{\alpha\in A}\), e sei a posto con la tua topologia
Scusa ma non ci avevo pensato / non me lo ricordavo
grazie per le risposte !
ne approfitto per un chiarimento correlato: la seconda proprietà di una base \(B\) richiede (equivalentemente) che:
se \(B_1, B_2\in B \) e \(x\in B_1\cap B_2\), allora esiste \(B_x\in B\) tale che \(x\in B_x\subset B_1\cap B_2\)
Ora la domanda è: l'inclusione è da interndersi come inclusione "stretta" o no ? In altri termini ritornando all'esempio di base che facevo all'inizio del thread (formata da 3 elementi) la proprietà suddetta varrebbe considerando però l'inclusione "larga"
Cosa ne pensate ?
ne approfitto per un chiarimento correlato: la seconda proprietà di una base \(B\) richiede (equivalentemente) che:
se \(B_1, B_2\in B \) e \(x\in B_1\cap B_2\), allora esiste \(B_x\in B\) tale che \(x\in B_x\subset B_1\cap B_2\)
Ora la domanda è: l'inclusione è da interndersi come inclusione "stretta" o no ? In altri termini ritornando all'esempio di base che facevo all'inizio del thread (formata da 3 elementi) la proprietà suddetta varrebbe considerando però l'inclusione "larga"
Cosa ne pensate ?
Prova a pensare al caso banale \(B,B\in\mathcal{B}\) allora... e deve valere \(\forall B\in\mathcal{B}\). Cosa succede se richiedi che la proprietà valga con l'inclusione stretta?
Purtroppo l'uso dei simboli di inclusione varia molto da autore a autore, ma spesso vedo che quando si vuole indicare l'inclusione stretta si usa \(\subsetneq,\subsetneqq\).
Purtroppo l'uso dei simboli di inclusione varia molto da autore a autore, ma spesso vedo che quando si vuole indicare l'inclusione stretta si usa \(\subsetneq,\subsetneqq\).
"friction":
Prova a pensare al caso banale \( B,B\in\mathcal{B} \) allora... e deve valere \( \forall B\in\mathcal{B} \). Cosa succede se richiedi che la proprietà valga con l'inclusione stretta?
in quel caso (con l'inclusione stretta) otterresti che la proprietà non vale per \(B\) in quanto \(B \subset B\) è falso.
Proprio per questo ritenevo che l'inclusione fosse da intendersi in senso "ampio" includendo la coincidenza tra insiemi
"cianfa72":
in quel caso (con l'inclusione stretta) otterresti che la proprietà non vale per \(B\) in quanto \(B \subset B\) è falso.
No.
La questione dobrebbe essere così.
Teorema. Sia \(X\) un insieme, e sia \(\lbrace B_{\alpha}\rbrace_{\alpha\in A}=:\mathcal{B}\subseteq2^X\); se \(\mathcal{B}\) soddisfa
\begin{align}
& X=\bigcup_{\alpha\in A} B_\alpha&(1)\\
& \forall B_{\alpha},B_{\beta}\in\mathcal{B},\forall x\in B_{\alpha}\cap B_{\beta},\,\exists B_{\gamma}\in\mathcal{B}:x\in B_{\gamma}\subseteq B_{\alpha}\cap B_{\beta}&(2)
\end{align}
allora \(\mathcal{B}\) è base di una topologia su \(X\) (e viceversa).
Proviamo a sostiuire \((2)\) con
\begin{equation}
\forall B_{\alpha},B_{\beta}\in\mathcal{B},\forall x\in B_{\alpha}\cap B_{\beta},\,\exists B_{\gamma}\in\mathcal{B}:x\in B_{\gamma}\subsetneq B_{\alpha}\cap B_{\beta}\qquad(2')
\end{equation}
prendiamo \(B_{\alpha}=:B^{(0)}\in\mathcal{B}\) per un certo \(\alpha\) fissato, quindi poiché \(\mathcal{B}\) deve soddisfare \((2')\) deve vale che
\begin{equation}
\forall x\in B^{(0)}\,\exists B_{\beta}=:B^{(1)}\in\mathcal{B}:x\in B^{(1)}\subsetneq B^{(0)}
\end{equation}
quindi \(\beta\ne\alpha\). Ora \((2')\) deve valere anche per \(B^{(1)}\in\mathcal{B}\), quindi dovrà esistere un \(B^{(2)}\in\mathcal{B}\) che ancora soddisfa \((2')\), e così via: insomma se vuoi che valga \((2')\) per ogni insieme che metti nella base devi includere anche tutti i suoi sottoinsiemi propri! Qualcuno potrebbe obiettare che l'oggetto che hai definito è di scarsa utilità
Se invece vale \((2)\) allora
\begin{equation}
\forall x\in B^{(0)}\,\exists B_{\beta}=:B^{(1)}\in\mathcal{B}:x\in B^{(1)}\subseteq B^{(0)}
\end{equation}
prendiamo \(\alpha=\beta,\,B^{(0)}=B^{(1)}=B_{\alpha}\) e siamo a posto.
Aspetta comunque il parere di j18eos, che ne sa più di me... non ti assicuro la correttezza/completezza del mio ragionamento.
"friction":
[quote="cianfa72"]
in quel caso (con l'inclusione stretta) otterresti che la proprietà non vale per \( B \) in quanto \( B \subset B \) è falso.
No...[/quote]Non ho capito perché no?
Inoltre, cianfa72, prova a ragionare sulla topologia su un insieme (non vuoto) \(\displaystyle S\) avente la topologia dei tre aperti \(\displaystyle\mathcal{T}=\{\emptyset,A,S\}\) con \(\displaystyle\emptyset\neq A\subsetneqq S\). Qual è la base topologica?
§§§
Facendo surf per il web, ho trovato che l'insieme vuoto è un oggetto abbastanza delicato in logica (cfr. wikipedia.en); per ciò, se assumi come assioma che esiste l'insieme vuoto, puoi dedurre dalla definizione di base topologica che l'insieme vuoto è generato da essa; se, invece, deduci l'esistenza dell'insieme vuoto dagli assiomi che usi, conviene chiedere a priori che l'insieme vuoto sia un elemento della base topologica.
A questo punto, stiamo discutendo sulla lana caprina?
Cioè, per come siamo abituati nella teoria naïve degli insieme: non cambia assolutamente nulla nel considerare o meno l'insieme vuoto come elemento di una base topologica; però, io sono del parere che il vuoto debba essere elemento di una qualsiasi base topologica; altrimenti, per pura formalità, lo spazio topologico \(\displaystyle(\emptyset,\{\emptyset\})\) dev'essere trattato come un caso a parte.
"j18eos":
[quote="friction"][quote="cianfa72"]
in quel caso (con l'inclusione stretta) otterresti che la proprietà non vale per \( B \) in quanto \( B \subset B \) è falso.
No...[/quote]Non ho capito perché no?
[/quote]
Si scusa... anche nel mio ragionamento arriveresti a dover trovare un sottoinsieme proprio del singoletto e a quel punto sarebbe falso... quindi è proprio sbagliato prendere l'inclusione stretta
Inoltre, cianfa72, prova a ragionare sulla topologia su un insieme (non vuoto) \(\displaystyle S\) avente la topologia dei tre aperti \(\displaystyle\mathcal{T}=\{\emptyset,A,S\}\) con \(\displaystyle\emptyset\neq A\subsetneqq S\). Qual è la base topologica?
in questo caso la (unica) base è \(\displaystyle\mathcal{B}=\{A,S\}\) dove e' evidente che debba valere l'inclusione "non stretta" !
Torna ?
Sì, mi torna tutto! 
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