Base di un sottospazio vettoriali polinomiale.

[galles90]

Buonasera,

sto provando a determinare le basi di diversi tipo di spazi vettoriali, in particolare il sottospazio $S$ di $mathbb{R}_4 [x]$,

$S = [x+x^2,x^2+x^3,x^3+x^4,2x+5x^2-3x^4]$.

Procedo nel seguente modo:

Classifico i seguenti polinomi
$p_1=x+x^2$
$p_2=x^2+x^3$
$p_3=x^3+x^4$
$p_4=2x+5x^2-3x^4$

Esprimo i precedenti polinomi, rispetto alla base naturale $B={1,x,x^2,x^3,x^4}$, per cui:
$p_1=(0,1,1,0,0)$
$p_3=(0,0,1,1,0)$
$p_3=(0,0,0,1,1)$
$p_4=(0,2,5,0,-3)$

per verificare se formano una base di $mathbb{R}_4 [x]$, verifico se formano una base di $mathbb{R^4}$, per cui inserico studio il rango della matrice $A$, cioè

\(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 1 \\ 0 & 2 & 5 &0 & -3 \end{vmatrix} \to A'= \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &0 & 0 \end{vmatrix} \)

quindi il rango di $A$ è tre, per cui le prime tre righe risultano essere lineramente indipendenti, è formano una base del sotto spazi $mathbb{R}_4 [x]$.

In particolare $B'=p_1,p_2,p_3$

Va bene, oppure ho sbagliato ?

Cordiali saluti

[thawra69]

Benissimo direi

[galles90]

Perfetto, grazie per la risposta