Base di un sottospazio vettoriale di polinomi
Salve a tutti 
ho un problema di algebra lineare del quale non riesco proprio a venire a capo. Ecco il testo:
Sia $RR$[x] $ <= $ 2 lo spazio vettoriale dei polinomi di grado $ <= $ 2. Sia V $ sub $ $RR$[x] $ <= $ 2 il sottospazio dei polinomi che si annullano in x=0. Trovare una base per V.
Ora, so che la dimensione di uno spazio vettoriale di polinomi dovrebbe essere in genere n+1 (con n = grado massimo) tuttavia non sono molto sicuro su come possa scrivere lo spazio vettoriale stesso per elencarne le caratteristiche, nel senso
{ p(x) : $ a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 $ } è ad esempio corretto? E in tal caso V potrei esprimerlo con { p(x) : $ a_0x^0 + a_1x^0 + a_2x^0 = 0 $ }? Mi dispiace se non mi sono espresso al meglio, è che ho un po' di confusione per la testa
ho un problema di algebra lineare del quale non riesco proprio a venire a capo. Ecco il testo:Sia $RR$[x] $ <= $ 2 lo spazio vettoriale dei polinomi di grado $ <= $ 2. Sia V $ sub $ $RR$[x] $ <= $ 2 il sottospazio dei polinomi che si annullano in x=0. Trovare una base per V.
Ora, so che la dimensione di uno spazio vettoriale di polinomi dovrebbe essere in genere n+1 (con n = grado massimo) tuttavia non sono molto sicuro su come possa scrivere lo spazio vettoriale stesso per elencarne le caratteristiche, nel senso
{ p(x) : $ a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 $ } è ad esempio corretto? E in tal caso V potrei esprimerlo con { p(x) : $ a_0x^0 + a_1x^0 + a_2x^0 = 0 $ }? Mi dispiace se non mi sono espresso al meglio, è che ho un po' di confusione per la testa
Risposte
Ciao, un generico polinomio di secondo grado è $ax^2+bx+c$ Dire che si annulla in zero significa dire che deve essere $c=0$. Gli altri due coefficienti sono liberi. Quindi abbiamo il vettore $((a),(b),(0)) = a((1),(0),(0))+b((0),(1),(0))$. 
"minomic":
Ciao, un generico polinomio di secondo grado è $ax^2+bx+c$ Dire che si annulla in zero significa dire che deve essere $c=0$. Gli altri due coefficienti sono liberi. Quindi abbiamo il vettore $((a),(b),(0)) = a((1),(0),(0))+b((0),(1),(0))$.
Grazie! Quindi in pratica il vettore $ ( ( a ),( b ),( 0 ) ) $ è una base per V, ed ha dimensione 2 in quanto formata dai vettori $ a( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ e $ b( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ?
No, una base è formata dai vettori $((1),(0),(0)), ((0),(1),(0))$. Quei coefficienti $a,b$ non c'entrano. Era solo per far vedere che il sottospazio è formato da tutti i polinomi con l'ultimo coefficiente nullo. Gli altri due possono assumere ogni valore.
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