Base di un sottospazio vettoriale

[Serus]

Salve a tutti,
mi chiedevo, c'è differenza tra base di un sottospazio vettoriale e base di un sottospazio vettoriale delle soluzioni di un sistema?
mi spiego meglio:
avendo questi due esercizi:

Determinare una base del sottospazio vettoriale delle soluzioni del seguente sistema di equazioni
lineari in 5 incognite su R
x1 +x2 +x3 −x4 +x5 = 0
2x1 +x2 −x3 −2x4 +x5 = 0
x1 −x2 −3x3 −x5 = 0

Determinare una base per ciascuno dei seguenti sottospazi vettoriali:
W = L((1, 2, −1, −1),(2, 2, 1, −1),(0, −2, 3, 1),(0, 1, 0, 1)) ⊆ R4;
H = {(a + c) + (a + b)x + (b − c)x^2| a, b, c ∈ R} ⊆ R[x]≤2.

si procede nello stesso modo?
quindi:
una base del sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema del primo esercizio è {(1,2,1),(1,1,-1),(1,-1,3)}
una base del sottospazio vettoriale W (secondo esercizio primo punto) è {(1,2,0,0),(2,2,-2,1),(-1,1,3,0)}
giusto?
se fin qui è tutto corretto, ho due domande:
- è la stessa cosa mettere i vettori per colonna o per riga (nel caso del secondo eseercizio primo punto)?
- come porcedo per il sottospazio vettoriale H?

Grazie mille in anticipo!

[feddy]

"RinOkumura":
- è la stessa cosa mettere i vettori per colonna o per riga (nel caso del secondo eseercizio primo punto)?

Grazie mille in anticipo!

certo... si ha intatti che $dim (C(A)) = dim (C(A^{H}))$
Dove C (A) è la dimensione dello spazio generato dalle colonne di A...

[Serus]

"feddy":[quote="RinOkumura"]
- è la stessa cosa mettere i vettori per colonna o per riga (nel caso del secondo eseercizio primo punto)?

Grazie mille in anticipo!

certo... si ha intatti che $dim (C(A)) = dim (C(A^{H}))$
Dove C (A) è la dimensione dello spazio generato dalle colonne di A...[/quote]
grazie mille! per quanto riguarda le altre domande? riesci ad aiutarmi?

[feddy]

Possiamo sfruttare l'isomorfismo $R^(n+1) ~= R^n[X] $ e lavorare con i vettori di R^2. Questo fatto è importantissimo, e discende dal teorema che afferma che ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ è isomorfo a $K^n$,

Possiamo dunque dire che $ a_0 + a_1X + a_2X^2 = ((a_0),(a_1),(a_2)) $


Il nostro sottospazio $U$ è dato dai polinomi di grado non superiore a 2 con coefficienti $a+c$,$a+b$,$b-c$.

Non ci sono particolari condizioni, se non la struttura dei coefficienti dell'indeterminata X.

Un generico vettore di $R^2[X]$ sarà quindi in coordinate:

$ ((a+c),(a+b),(b-c)) $ = $ a((1),(1),(0)) + b((0),(1),(1)) +c((1),(0),(-1)) $ .
Riducendo a scala la matrice formata dai tre vettori: $ [ ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ) ] ~ ~ [ ( 1 , 0 , 1 ),( 0,1,-1),( 0 , 0 , 0) ] $ vediamo che il rango è 2.

Pertanto due vettori linearmente indipendenti sono : $((1),(1),(0))$ e $((0),(1),(1))$.

che possono essere tradotti in $R^2[X]$ in $a + (a+b)X + cX^2$.

[Serus]

"feddy": cut

ho capito il ragionamento, però ho una piccola domanda: i vettori che compongono la base non dovevano essere (1,1,0) e (0,1,1)? ho sempre ragionato in modo "semplicistico" considerando vettori della base quelli dove, nella matrice ridotta, compaiono i pivot (prendendo poi i vettori colonna della matrice di partenza ovviamente)

[feddy]

ovvio, ho sbagliato a scriverli sono quelli che dici tu

[Serus]

"feddy":ovvio, ho sbagliato a scriverli sono quelli che dici tu

ok, quindi (scusa è l'ultima domanda che faccio, giuro xD) non c'è bisogno che i vettori che compongono la base siano lin. indipendenti giusto? perché (1,1,0) e (0,1,1) sono linearmente dipendenti...
è un dubbio che ho da parecchio ma il mio professore è un latitante e purtroppo non ho un libro buono dal quale studiare :/

[feddy]

Una base è un insieme di generatori linaermente indipendenti !

Lo devono essere... e lo sono

sono lin. indipendenti se l'unico modo di ottenere il vettore nullo a partire da una loro combinazione lineare, è che tutti i coefficienti della combinazione siano nulli.

ora scappo, se hai altri dubbi a domani