Base di un sottospazio vettoriale

[Hornet345]

Ciao a tutti,
ho difficoltà nel capire i passaggi necessari per ottenere la base di un sottospazio vettoriale.
L' esercizio chiede di dimostrare che un sottoinsieme F di R4 è un suo sottospazio vettoriale.
Questa parte dell' esercizio sono riuscito a risolverla.
La seconda parte chiede la dimensione del sottospazio e la base.

F=(x=(x1,x2,x3,x4)/x1+x2+x3+x4= 0 e x1-x2+x3-x4=0)

Ho calcolato la dimensione (dim F=2 = rango della matrice) ma non riesco ad andare avanti per ottenere la base...
Grazie in anticipo.

[kobeilprofeta]

prendi due vettori linearmente ind che soddisfano le tue due condizioni.

[MinatoNamikaze1]

"Hornet345":
$ F={x=(x_1,x_2,x_3,x_4) : x_1+x_2+x_3+x_4= 0 $ e $x_1-x_2+x_3-x_4=0} $

Ho calcolato la $ dimF=2 $ = rango della matrice A .

"Sergio":
La matrice dei coefficienti è \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \) che puoi ridurre a gradini ottenendo: \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Visto che \( \rho (A)=2=dim(Im(F))=L(Colonne (A)) \) , si può trasporre la matrice ( \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) ) per valutare le colonne come basi dell'immagine di F?

EDIT:
Quindi la base sarebbe formata dai vettori (appartenenti al Ker) trovati precedentemente da Sergio + i vettori base dell'immagine di F; i.e. \( \mathcal{A}=\{(1,0,-1,0),(0,1,0,-1),(1,1,1,1),(0,1,0,1)\} \) base di F.
È corretto come ragionamento?

[Hornet345]

Grazie 1000 ad entrambi!!

[MinatoNamikaze1]

"Sergio":@MinatoNamikaze: a me \(F\) sembra un sottospazio vettoriale, non un'applicazione lineare.

Mi sa di esser stato frainteso, le mie non sono domande retoriche, ma dubbi.
Come si distingue un sottospazio vettoriale da un'applicazione lineare?

Cioè prendendo in considerazione un sottospazio vettoriale di $R^3$, ad esempio $ W:={( ( x ),( y ),( z ) ) in R^3 : ( ax+by+cz=0 ),( dx+ey+fz=0 ),(gx+hy+iz=0): } $

chiamando \( \mathrm{A}=\begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \) allora \( W=L_A=(x,y,z) \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \) non è sempre vero?

[kobeilprofeta]

?

Come si distingue un sottospazio vettoriale da un'applicazione lineare?

Dovresti andarti a vedere cos'è un'applicazione.
Invece un sott vett è uno spazio vett e, in quanto tale, è un insieme.

[Hornet345]

Ciao a tutti,
scusatemi...ho una difficoltà legata alla base.
Non riesco ad "immaginarmela" graficamente. Ad esempio,un sistema di generatori può essere rappresentato graficamente come vettori ortogonali(e.g. assi cartesiani). Una base,invece, com' è fatta graficamente?
Grazie 1000 in anticipo

[Hornet345]

Ciao,
riformulo la domanda, proponendomi di ripassare meglio la teoria.
E' possibile rappresentare graficamente una base?
Grazie 1000

[Hornet345]

Tutto molto chiaro!
Grazie!!