Base di un sottospazio vettoriale
Salve ragazzi,ho un urgente bisogno di sapere come si risolve questo esercizio.Mi sapreste dire come devo svolgerlo?Grazie
anticipatamente.
Nei seguenti casi,si dica se S è un Sottospazio vettoriale di V(le risposte vanno motivate).In caso affermativo,si trovi una base.
1)V=R^2 S= { $[[x1],[x2]]$ $in$ R^2 | x1*x2=0 }
2)V=R^3 S= { $[[x1],[x2],[x3]]$ $in$ R^3 | x3=1 }
3)V=2R2 S={ $[[a11,a12],[a21,a22]]$ $in$ 2R2 | $a_11$ = $a_12$ =0 }.
Come si risolve?
anticipatamente.
Nei seguenti casi,si dica se S è un Sottospazio vettoriale di V(le risposte vanno motivate).In caso affermativo,si trovi una base.
1)V=R^2 S= { $[[x1],[x2]]$ $in$ R^2 | x1*x2=0 }
2)V=R^3 S= { $[[x1],[x2],[x3]]$ $in$ R^3 | x3=1 }
3)V=2R2 S={ $[[a11,a12],[a21,a22]]$ $in$ 2R2 | $a_11$ = $a_12$ =0 }.
Come si risolve?
Risposte
Se è sottospazio devi verificare i due assiomi, cioè che la somma di due vettori del sottospazio appartiene ancora ad esso, e lo stesso per il prodotto per uno scalare. Per una base base visto che le equazioni sono in forma cartesiana passale in forma parametrica.
@francescoric92,
Secondo il regolamento dovresti per prima postare una tua soluzione...
"francescoric92":
Salve ragazzi,ho un urgente bisogno di sapere come si risolve questo esercizio.Mi sapreste dire come devo svolgerlo?Grazie
anticipatamente.
Nei seguenti casi,si dica se S è un Sottospazio vettoriale di V(le risposte vanno motivate).In caso affermativo,si trovi una base.
1)V=R^2 S= { $[[x1],[x2]]$ $in$ R^2 | x1*x2=0 }
2)V=R^3 S= { $[[x1],[x2],[x3]]$ $in$ R^3 | x3=1 }
3)V=2R2 S={ $[[a11,a12],[a21,a22]]$ $in$ 2R2 | $a_11$ = $a_12$ =0 }.
Come si risolve?
Secondo il regolamento dovresti per prima postare una tua soluzione...
Purtroppo non riesco proprio a impostarlo,e più che le soluzioni,a me interessa il metodo...
Cmq nel primo punto ho pensato che devo prendere due vettori di R^2,
tali che moltiplicati tra loro mi diano 0.Quindi ho pensato che una base deve essere per esempio:
$[[0],[0]]$ e l'altra scelta a caso: $[[1],[1]]$.
In linea teorica si risolve così?Come faccio a portarle in forma parametrica??
Cmq nel primo punto ho pensato che devo prendere due vettori di R^2,
tali che moltiplicati tra loro mi diano 0.Quindi ho pensato che una base deve essere per esempio:
$[[0],[0]]$ e l'altra scelta a caso: $[[1],[1]]$.
In linea teorica si risolve così?Come faccio a portarle in forma parametrica??
Ripensandoci su:io sò che per essere sottospazio vettoriale deve soddisfare tre proprietà:quella del vettore nullo,quella della somma,e quella del prodotto.
Nel punto 1 se sostituisco 0 in x1 e x2 viene 0*0=0 e quindi è soddisfatta la prima proprietà,però come devo impostare per vedere se c'è o meno la somma e prodotto?
Nel punto 1 se sostituisco 0 in x1 e x2 viene 0*0=0 e quindi è soddisfatta la prima proprietà,però come devo impostare per vedere se c'è o meno la somma e prodotto?
Ciao, prendiamo il primo. Consideriamo i vettori $$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}x_3\\x_4\end{bmatrix}$$ tali che soddisfino la proprietà richiesta, quindi tali che $$x_1 x_2 = 0 \\ x_3 x_4 = 0$$ Il vettore somma è dato da $$\begin{bmatrix}x_1+x_3\\x_2+x_4\end{bmatrix}$$ A questo punto dobbiamo chiederci se anche $$\left(x_1+x_3\right)\left(x_2+x_4\right)=0$$ Questo è falso. Perché?
Adesso ho capito qualcosa...ma per dimostrare anche il prodotto cosa devo fare?oppure basta che dimostro solo la somma?...Invece nel punto 2,se non sbaglio devo prendere due vettori:(x1,x2,x3) e (y1,y2,y3) tali che
(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=0 e da qui mi ricavo (x1+y1)+(x2+y2)+(1+y3)=0,cosa posso dedurre da tutto ciò?
Invece nel punto 3 cosa devo fare?Devo prendere due matrici in cui a11 e a12 prendano il valore 0?
(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=0 e da qui mi ricavo (x1+y1)+(x2+y2)+(1+y3)=0,cosa posso dedurre da tutto ciò?
Invece nel punto 3 cosa devo fare?Devo prendere due matrici in cui a11 e a12 prendano il valore 0?
No calma... Nel primo abbiamo dimostrato che la proprietà della somma non vale. Quindi quello non è un sottospazio vettoriale. Fine.
Nel secondo: se deve essere $$x_3 = 1$$ il vettore nullo potrà essere parte di quell'insieme di vettori? Quindi?
Nel terzo: la generica matrice dell'insieme è data da $$\begin{bmatrix}0&0\\a&b\end{bmatrix}$$ La matrice nulla è contenuta in questo insieme? Com'è la somma tra due matrici di questo tipo? Com'è il prodotto di una di queste matrici per uno scalare?
Nel secondo: se deve essere $$x_3 = 1$$ il vettore nullo potrà essere parte di quell'insieme di vettori? Quindi?
Nel terzo: la generica matrice dell'insieme è data da $$\begin{bmatrix}0&0\\a&b\end{bmatrix}$$ La matrice nulla è contenuta in questo insieme? Com'è la somma tra due matrici di questo tipo? Com'è il prodotto di una di queste matrici per uno scalare?
Poiché x3 deve essere uguale a 1 il vettore nullo non può far parte di quell'insieme,ergo non è uno spazio vettoriale.In sostanza se vedo che una delle tre proprietà non è soddisfatta posso concludere che non c'è un sottospazio vettoriale?Invece se ne soddisfa una posso controllare anche le altre 2?oppure una implica l'altre?
Dal terzo punto se a e b sono uguali a zero esiste la matrice nulla,per la somma e il prodotto come imposto il sistema?I valori di a e b li devo prendere a caso?
Dal terzo punto se a e b sono uguali a zero esiste la matrice nulla,per la somma e il prodotto come imposto il sistema?I valori di a e b li devo prendere a caso?
"francescoric92":
Poiché x3 deve essere uguale a 1 il vettore nullo non può far parte di quell'insieme,ergo non è uno spazio vettoriale.
Giusto!
"francescoric92":
In sostanza se vedo che una delle tre proprietà non è soddisfatta posso concludere che non c'è un sottospazio vettoriale?
Esatto. Basta che anche una sola delle tre proprietà non sia verificata per concludere che quello non è un sottospazio vettoriale.
"francescoric92":
Dal terzo punto se a e b sono uguali a zero esiste la matrice nulla,per la somma e il prodotto come imposto il sistema?I valori di a e b li devo prendere a caso?
Sul fatto che la matrice nulla faccia parte dell'insieme siamo d'accordo: basta scegliere $$a=b=0$$ Proviamo con la somma: prendiamo due matrici che soddisfano la proprietà richiesta: $$\begin{bmatrix}0&0\\a&b\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}0&0\\c&d\end{bmatrix}$$ La loro somma è data da $$\begin{bmatrix}0&0\\a+c&b+d\end{bmatrix}$$ Questa soddisfa la proprietà di avere i primi due elementi nulli? Direi proprio di sì, quindi la proprietà della somma è dimostrata. Ora prova con la moltiplicazione per uno scalare: prendi la generica matrice $$\begin{bmatrix}0&0\\a&b\end{bmatrix}$$ e moltiplicala per un generico scalare \(\displaystyle \lambda \). Cosa concludi?
Praticamente è soddisfatta anche la moltiplicazione perchè se moltiplico $\lambda$ * $[[0,0],[a,b]]$ = $[[0,0],[§a,§b]]$ e quindi va bene...giusto?(§ sta per lamba)
Grazie mille per l'aiuto
Grazie mille per l'aiuto
Giusto! Quindi abbiamo dimostrato che questo è un sottospazio vettoriale. Ora sai trovare una sua base?
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