Base di un sottospazio generato da polinomi
Salve a tutti,
mi viene chiesto di trovare una base del seguente sottospazio: $L({1 + x, 2 + 2x, x + x^3 }) ⊆ R[x] ≤ 3$
Allora per quanto riguarda trovare le basi di vettori con soli numeri ho capito come fare, ma i polinomi mi confondono un po' le idee. Spero che quanto stia per dire non sia un eresia. Allora io ho fatto così:
Scritto l'insieme così: ${(1, x), (2, 2x), (x, x^3)}$ ,
fatto questa matrice: $((1,2,x),(x,2x,x^3))$
e ridotta in questo modo: $((1,2,x),(0,0,x^3 - 2x^2))$
Così visto che i pivot stavano solo nella prima e 3 colonna ho pensato che l'insieme potesse ridursi: ${(1, x), (x, x^3)}$ e pertanto una base essere ${1 + x, x + x^3}$
Mi scuso per la domanda così banale, ma se ho terribilmente sbagliato è meglio che mi corregga ora che scoprirlo più avanti.
Grazie
mi viene chiesto di trovare una base del seguente sottospazio: $L({1 + x, 2 + 2x, x + x^3 }) ⊆ R[x] ≤ 3$
Allora per quanto riguarda trovare le basi di vettori con soli numeri ho capito come fare, ma i polinomi mi confondono un po' le idee. Spero che quanto stia per dire non sia un eresia. Allora io ho fatto così:
Scritto l'insieme così: ${(1, x), (2, 2x), (x, x^3)}$ ,
fatto questa matrice: $((1,2,x),(x,2x,x^3))$
e ridotta in questo modo: $((1,2,x),(0,0,x^3 - 2x^2))$
Così visto che i pivot stavano solo nella prima e 3 colonna ho pensato che l'insieme potesse ridursi: ${(1, x), (x, x^3)}$ e pertanto una base essere ${1 + x, x + x^3}$
Mi scuso per la domanda così banale, ma se ho terribilmente sbagliato è meglio che mi corregga ora che scoprirlo più avanti.
Grazie
Risposte
si tratta di lavorare in coordinate.
Questo grazie all'isomorfismo che esiste tra lo spazio dei polinomio reali di grado al più $n$ e lo spazio vettoriale $R^{n+1}$.
Per esempio, il polinomio $x^3+2x+1$, scritto in coordinate rispetto alla base canonica è il vettore $((1),(0),(2),(1))$
Questo grazie all'isomorfismo che esiste tra lo spazio dei polinomio reali di grado al più $n$ e lo spazio vettoriale $R^{n+1}$.
Per esempio, il polinomio $x^3+2x+1$, scritto in coordinate rispetto alla base canonica è il vettore $((1),(0),(2),(1))$
Per trovare una base dello spazio, generato dai seguenti vettori $ L({1 + x, 2 + 2x, x + x^3 }) ⊆ R[x] ≤ 3 $, basta verificare la loro indipendenza lineare.
Bisogna calcolare le componenti rispetto a una qualsiasi base di $RR^3$ (tipo la base canonica), e poi verificare il rango:
Scelta la base
si ricavano le componenti:
Si pongono le componenti in riga/colonna:
e se ne calcola il rango.
In questo caso tutto ciò si può evitare osservando che: $ L({1 + x, 2 + 2x, x + x^3 })=$[nota]Lemma di eliminazine[/nota]$= L({1 + x, x + x^3 })$ i vettori rimasti sono due[nota]Attenzione: il lemma che segue vale solo se i vettori sono due![/nota] e non proporzionali, quindi sono l.i. pertanto ${1+x, x+x^3}$[nota]Oppure si può anche notare che sono polinomi di grado distinto.[/nota]
Dato che una base è un insieme ordinato, sarebbe meglio esplicitarla per non creare confusione.
Bisogna calcolare le componenti rispetto a una qualsiasi base di $RR^3$ (tipo la base canonica), e poi verificare il rango:
Scelta la base
$e={1, x, x^2, x^3}$,
si ricavano le componenti:
$[1+x]_e=(1,1,0,0)$
$[2+2x]_e=(2,2,00)$
$[x+x^3]_e=(0,1,0,1)$
$[2+2x]_e=(2,2,00)$
$[x+x^3]_e=(0,1,0,1)$
Si pongono le componenti in riga/colonna:
$((1,1,0,0),(2,2,0,0),(0,1,0,1))$
e se ne calcola il rango.
In questo caso tutto ciò si può evitare osservando che: $ L({1 + x, 2 + 2x, x + x^3 })=$[nota]Lemma di eliminazine[/nota]$= L({1 + x, x + x^3 })$ i vettori rimasti sono due[nota]Attenzione: il lemma che segue vale solo se i vettori sono due![/nota] e non proporzionali, quindi sono l.i. pertanto ${1+x, x+x^3}$[nota]Oppure si può anche notare che sono polinomi di grado distinto.[/nota]
"feddy":
si tratta di lavorare in coordinate.
Questo grazie all'isomorfismo che esiste tra lo spazio dei polinomio reali di grado al più $n$ e lo spazio vettoriale $R^{n+1}$.
Per esempio, il polinomio $x^3+2x+1$, scritto in coordinate rispetto alla base canonica è il vettore $((1),(0),(2),(1))$
Dato che una base è un insieme ordinato, sarebbe meglio esplicitarla per non creare confusione.
certamente Magma, hai ragione L'ho dato per scontato ma era meglio precisare
L'ho dato per scontato ma era meglio precisare
Vi ringrazio davvero di cuore, finalmente tutto torna e anche i miei appunti acquistano molta più coerenza 
, in realtà non avevo mai capito bene come usare l'isomorfismo tra spazio dei polinomi e quello vettoriale di $R$
, in realtà non avevo mai capito bene come usare l'isomorfismo tra spazio dei polinomi e quello vettoriale di $R$
"fgnm":
in realtà non avevo mai capito bene come usare l'isomorfismo tra spazio dei polinomi e quello vettoriale di $R$
Data una base $e={1, x, x^2, x^3}$, un esempio pratico di isomorfismo è
quello che manda $a+bx+cx^2+dx^3$ in $[a+bx+cx^2+dx^3]_e=((a),(b),(c),(d))$:
$f: RR[T]_(<=3)->RR^4$ tale che
$a+bx+cx^2+dx^3 -> ((a),(b),(c),(d))$
quello che manda $a+bx+cx^2+dx^3$ in $[a+bx+cx^2+dx^3]_e=((a),(b),(c),(d))$:
$f: RR[T]_(<=3)->RR^4$ tale che
$a+bx+cx^2+dx^3 -> ((a),(b),(c),(d))$
"Magma":
[quote="fgnm"] in realtà non avevo mai capito bene come usare l'isomorfismo tra spazio dei polinomi e quello vettoriale di $R$
Data una base $e={1, x, x^2, x^3}$, un esempio pratico di isomorfismo è
quello che manda $a+bx+cx^2+dx^3$ in $[a+bx+cx^2+dx^3]_e=((a),(b),(c),(d))$:
$f: RR[T]_(<=3)->RR^4$ tale che
$a+bx+cx^2+dx^3 -> ((a),(b),(c),(d))$
[/quote]quello che manda $a+bx+cx^2+dx^3$ in $[a+bx+cx^2+dx^3]_e=((a),(b),(c),(d))$:
$f: RR[T]_(<=3)->RR^4$ tale che
$a+bx+cx^2+dx^3 -> ((a),(b),(c),(d))$
Tutto chiaro, grazie ancora!
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