Base di un sottospazio di polinomi
Salve ancora 
Ho questi sottospazi
\( U=\{p(x)\in R_3[t]|p(x) = x^3p(\frac{1}{x}) \} \)
\( W=\{p(x)\in R_3[t]|p(x) = p(-x) \} \)
devo trovarne le basi
Comincio da U
\( p(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \)
\( a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3 = x^3(a_0+a_1\frac{1}{x} + a_2\frac{1}{x^2}+a_3\frac{1}{x^3}) \)
\( a_0(1 - x^3)+a_1(x-x^2)+a_2(x^2-x)a_3(x^3-1)=0 \)
quindi il nostro p(x) può essere scritto come combinazione lineare di
\( \{(1 - x^3),(x-x^2)\} \)
giusto?
Passando a W e saltando i passaggi che sono pressappoco uguali ad U
\( a_1x + a_2x^2+ a_3x^3=0 \)
però qui ho qualche dubbio su come proseguire
Ho questi sottospazi
\( U=\{p(x)\in R_3[t]|p(x) = x^3p(\frac{1}{x}) \} \)
\( W=\{p(x)\in R_3[t]|p(x) = p(-x) \} \)
devo trovarne le basi
Comincio da U
\( p(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \)
\( a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3 = x^3(a_0+a_1\frac{1}{x} + a_2\frac{1}{x^2}+a_3\frac{1}{x^3}) \)
\( a_0(1 - x^3)+a_1(x-x^2)+a_2(x^2-x)a_3(x^3-1)=0 \)
quindi il nostro p(x) può essere scritto come combinazione lineare di
\( \{(1 - x^3),(x-x^2)\} \)
giusto?
Passando a W e saltando i passaggi che sono pressappoco uguali ad U
\( a_1x + a_2x^2+ a_3x^3=0 \)
però qui ho qualche dubbio su come proseguire
Risposte
Su $U $ non mi pronuncio 
Su $W $ ; $p(x)= a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3* x^3 $ se deve essere $p(x)=p(-x) $ allora sopravviveranno solo i coefficienti con $x$ elevata a potenze pari , per cui : $p(x)=a_0 +a_2 x^2 $ ; $ Dim W =2 $
Una base partendo dal grado più elevato : $ ((0),(1),(0),(0)) ; ((0),(0),(0),( 1)) $.
Su $W $ ; $p(x)= a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3* x^3 $ se deve essere $p(x)=p(-x) $ allora sopravviveranno solo i coefficienti con $x$ elevata a potenze pari , per cui : $p(x)=a_0 +a_2 x^2 $ ; $ Dim W =2 $
Una base partendo dal grado più elevato : $ ((0),(1),(0),(0)) ; ((0),(0),(0),( 1)) $.
Mi pronuncio con $U $ riscrivendo così :
$ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 = a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $ da cui ordinanando in modo opportuno :
$-( a_3-a_0) +(a_1-a_2)x -(a_1-a_2)x^2 +(a_3-a_0)x^3 =0 $
da cui appare che la dim U = 2 e che i polinomi $p(x) $ possono essere espressi come combinazioni lineari di $(1-x^3) ; (x-x^2 ) $ come avevi già detto tu.
Se esprimo una base in forma vettoriale partendo dall'esponente di ordine maggiore si ha :
$((-1),(0),(0),(1))$; $ (( 0),(-1),(1),(0))$
$ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 = a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $ da cui ordinanando in modo opportuno :
$-( a_3-a_0) +(a_1-a_2)x -(a_1-a_2)x^2 +(a_3-a_0)x^3 =0 $
da cui appare che la dim U = 2 e che i polinomi $p(x) $ possono essere espressi come combinazioni lineari di $(1-x^3) ; (x-x^2 ) $ come avevi già detto tu.
Se esprimo una base in forma vettoriale partendo dall'esponente di ordine maggiore si ha :
$((-1),(0),(0),(1))$; $ (( 0),(-1),(1),(0))$
Grazie ora ho capito il ragionamento da seguire per W 
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