Base di un sottospazio

[Dalfi1]

Ragazzi sto risolvendo il seguente esercizio:

Si considerino le applicazioni lineari $f: RR^3 -> RR^4$ e $g: RR^3 -> RR^4$ tali che
$f(1; 1; 0) = 0; f(1; 2; 0) = 0; f(0; 0;-1) = (0; 1; 1; 0)$
$g(0; 2; 1) = (0;-1;-1; 0); g(0;-2; 1) = (0;-1;-1; 0); g(1; 0; 0) = 0$
(a) Mostrare che $f = g$.
(b) Determinare una base di $ (f)^(-1)(W)$ dove $W = L((-1; 1; 1; 0); (0; 0; 0; 1))$.

allora...sfruttando la linearità delle due applicazioni e i valori che esse assumono sui vettori della base canonica, ho trovato che sono uguali e hanno equazione

$f(x,y,z)=g(x,y,z)=(0,-z,-z,0)$

non riesco a capire però come risolvere la parte $b$ dell'esercizio...mi dareste una mano gentilmente?

[orazioster]

Ma i vettori d del sottspazio $W$ NON appartengono
all' immagine di $f$ (che ,tra l'altro, ha dimensione $1$); quindi $(f)^-1$ non è certo definita su $W$.

Allora non ho capito il quesito

O forse, la risposta è proprio quella che ho dato.

[Dalfi1]

"orazioster":Ma i vettori d del sottspazio $W$ NON appartengono
all' immagine di $f$ (che ,tra l'altro, ha dimensione $1$); quindi $(f)^-1$ non è certo definita su $W$.

Allora non ho capito il quesito

O forse, la risposta è proprio quella che ho dato.

anche io ero giunto a quella conclusione...a sto punto o è quella la risposta o ho sbagliato i calcoli O.o

[orazioster]

! Eureka! (forse)
$W$ come ogni sottospazio contiene il vettore nullo.
Quindi $(f)^-1(W)$ è $Ker(f)$