Base di un sottospazio

[BruceChetta1]

Salve a tutti! Non riesco a determinare una base di $U$ nel seguente esercizio:
Si calcoli una base del seguente sottospazio
$U:={A in RR^(2,3) : A^tB=C^tA}$
dove $B=((6,0,0),(0,0,1))$ e $C=((1,1,0),(1,0,3))$
Ora, prendendo come matrice generica
$A=((a,b,c),(d,e,f))$
e calcolando
$A^tB=C^tA$
ottengo
$((a+b,a+3c),(d+e,d+3f))$
Come posso determinare una Base di $U$?
Inoltre se ho una matrice $M in U$
$M=((a,-2a),(c,-2c)) $
e la scrivo come combinazione lineare
$a((1,-2),(0,0)) + c((0,0),(1,-2))$
come posso scrivere una base di $U$?

[cooper1]

svolgendo i prodotti riga per colonna ed assumendo che nella tua notazione la trasposizione riguardi la matrice a destra della $t$, ottengo l'uguaglianza:
$ ( ( 6a , c ),( 6d , f ) ) = ( ( a+b , d+e ),( a+3c , d+3f ) ) $
da questa ricavi il sistema che indica della condizioni sulle variabili. a questo punto ti puoi ricondurre ad una matrice del tipo della $M$ che hai scritto poco sotto e procedere come ti spiego su quell'esempio.

"BruceChetta":
e la scrivo come combinazione lineare
$ a((1,-2),(0,0)) + c((0,0),(1,-2)) $
come posso scrivere una base di $ U $?

corretto. a questo a punto la base ce l'hai già scritta: $B={((1,-2),(0,0)), ((0,0),(1,-2))}$

[BruceChetta1]

Grazie mille per l'aiuto.