Base di un sottospazio.
Salve a tutti, mi sto preparando per l'esame di geometria e sto svolgendo i problemi delle sessioni passate.
Sfortunatamente non ho le soluzioni quindi spero di trovare aiuto qui nel capire se il procedimento da me adottato per alcuni esercizi è corretto.
Si considerino i seguenti sottospazi di \(\displaystyle R_3(x) \)
\(\displaystyle
U = \{p(x) \in R_3[x] | p(0) = 0, p(-1) = 0\} \)
\(\displaystyle W = \{p(x) \in R_3[x] | p'(-1)=0\}\)
essendo \(\displaystyle p' \) il polinomio derivato di \(\displaystyle p \) determinare una base di \(\displaystyle U \cap W \) e una base di \(\displaystyle U+W \)
Il mio svolgimento cominciando da U è
\( p(0) = 0 \Rightarrow a \) \( p(0) = 0\Longrightarrow a_0 + 0\cdot a_1+0\cdot a_2 + 0\cdot a_3 = 0\Longrightarrow a_0=0 \)
\( p(-1)=0\Longrightarrow a_0-1\cdot a_1 +1\cdot a_2 - 1\cdot a_3 = 0 \Longrightarrow a_0 = a_1 - a_2 + a_3 \)
\( a_1 - a_2 + a_3 = 0 \Longrightarrow a_1 = a_2 - a_3 \)
\( \begin{bmatrix} a_0 \\ a_2-a_3 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = a_0\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + a_2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Fin qui è giusto? La base di U è corretta?
Ci tengo a precisare che non voglio il resto della soluzione voglio solo sapere se fin qui non ho combinato catastrofi
alla soluzione finale voglio arrivarci da solo.
Ci tengo anche a precisare che ho già cercato online problemi simili e ho aperto il post per avere la certezza che il metodo sia corretto
Ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto
Sfortunatamente non ho le soluzioni quindi spero di trovare aiuto qui nel capire se il procedimento da me adottato per alcuni esercizi è corretto.
Si considerino i seguenti sottospazi di \(\displaystyle R_3(x) \)
\(\displaystyle
U = \{p(x) \in R_3[x] | p(0) = 0, p(-1) = 0\} \)
\(\displaystyle W = \{p(x) \in R_3[x] | p'(-1)=0\}\)
essendo \(\displaystyle p' \) il polinomio derivato di \(\displaystyle p \) determinare una base di \(\displaystyle U \cap W \) e una base di \(\displaystyle U+W \)
Il mio svolgimento cominciando da U è
\( p(0) = 0 \Rightarrow a \) \( p(0) = 0\Longrightarrow a_0 + 0\cdot a_1+0\cdot a_2 + 0\cdot a_3 = 0\Longrightarrow a_0=0 \)
\( p(-1)=0\Longrightarrow a_0-1\cdot a_1 +1\cdot a_2 - 1\cdot a_3 = 0 \Longrightarrow a_0 = a_1 - a_2 + a_3 \)
\( a_1 - a_2 + a_3 = 0 \Longrightarrow a_1 = a_2 - a_3 \)
\( \begin{bmatrix} a_0 \\ a_2-a_3 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = a_0\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + a_2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Fin qui è giusto? La base di U è corretta?
Ci tengo a precisare che non voglio il resto della soluzione voglio solo sapere se fin qui non ho combinato catastrofi
alla soluzione finale voglio arrivarci da solo.Ci tengo anche a precisare che ho già cercato online problemi simili e ho aperto il post per avere la certezza che il metodo sia corretto
Ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto
Risposte
$RR_3[x]$ è isomorfo a $RR^4$, dunque il polinomio $p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ lo puoi identificare con la quaterna $(a_3,a_2,a_1,a_0)$
Dire che $p(0)=0$ significa che $a_0=0$
Dire che $p(-1)=0$ significa che $a_3-a_2+a_1=0$
Quindi $U$ è costituito dalle quaterne del tipo $U={(a_2-a_1,a_2,a_1,0)| a_1,a_2inRR}$
Vedi che la dimensione di $U$ è $2$, mentre quella di $W$ è $3$.
Dire che $p(0)=0$ significa che $a_0=0$
Dire che $p(-1)=0$ significa che $a_3-a_2+a_1=0$
Quindi $U$ è costituito dalle quaterne del tipo $U={(a_2-a_1,a_2,a_1,0)| a_1,a_2inRR}$
Vedi che la dimensione di $U$ è $2$, mentre quella di $W$ è $3$.
Tutto corretto a parte il fatto che essendo $a_0=0$, il primo vettore colonna si può eliminare essendo un vettore nullo, e pertanto ti rimangono due vettori a formare la base, da qui la dimensione $dimU=2$ come detto sopra.
Grazie!
Effettivamente sono stato distratto a lasciare \(\displaystyle a_0 \)
Proseguendo abbiamo che
\( p'(-1) = 0 \)
\( p'=a_1+2a_2t + 3a_3t^2 \)
\( a_1 - 2a_2 + 3a_3 = 0 \Longrightarrow a_1 =2a_2-3a_3 \)
\( \begin{bmatrix} a_0 \\ 2a_2-3a_3 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = a_0\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + a_2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Da qui per \( U\cap W \)
\( a_1 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - b_1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - b_2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - b_3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
si semplifica la matrice con gauss
\( \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \Longrightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \)
poniamo \(\displaystyle b_3 = k \)
\( \begin{cases} a_1 - a_2 +2b_2 -3k = 0 \\ a_2-b_2+3k=0 \\ b_1=0 \\ b_2=2k \\ b_3 = k \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a_1=-2k \\ a_2 = -k \\ b_1 = 0 \\ b_2 = 2k \\ b_3 = k \end{cases} \Longrightarrow k\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
ponendo \(\displaystyle k=1 \) abbiamo che \(\displaystyle a_1 = -2 \) e \(\displaystyle a_2 = -1 \)
quindi:
\( -2\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} -1\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\-2 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Quindi la base di \( U\cap W \) è
\( \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\-2 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Vi prego ditemi che è giusto che ci ho messo 3 ore a scrivere tutta sta roba sul forum
Effettivamente sono stato distratto a lasciare \(\displaystyle a_0 \)
Proseguendo abbiamo che
\( p'(-1) = 0 \)
\( p'=a_1+2a_2t + 3a_3t^2 \)
\( a_1 - 2a_2 + 3a_3 = 0 \Longrightarrow a_1 =2a_2-3a_3 \)
\( \begin{bmatrix} a_0 \\ 2a_2-3a_3 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = a_0\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + a_2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Da qui per \( U\cap W \)
\( a_1 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - b_1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - b_2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - b_3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
si semplifica la matrice con gauss
\( \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \Longrightarrow \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\ \)
poniamo \(\displaystyle b_3 = k \)
\( \begin{cases} a_1 - a_2 +2b_2 -3k = 0 \\ a_2-b_2+3k=0 \\ b_1=0 \\ b_2=2k \\ b_3 = k \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} a_1=-2k \\ a_2 = -k \\ b_1 = 0 \\ b_2 = 2k \\ b_3 = k \end{cases} \Longrightarrow k\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
ponendo \(\displaystyle k=1 \) abbiamo che \(\displaystyle a_1 = -2 \) e \(\displaystyle a_2 = -1 \)
quindi:
\( -2\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} -1\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\-2 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Quindi la base di \( U\cap W \) è
\( \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\-2 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Vi prego ditemi che è giusto che ci ho messo 3 ore a scrivere tutta sta roba sul forum
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