Base di un sottospazio
Ciao,
all'esame di discreto mi é stato dato questo esercizio:
"Determinare una base B del sottospazio U dello spazio vettoriale $M_{2}R$ generato dalle matrici $M_{1}=((1,1),(0,0))$, $M_{2}=((0,0),(1,1))$, $M_{3}=((1,0),(1,0))$, $M_{4}=((0,2),(1,3))$. Completare la base trovata a una base dello spazio (di dimensione 4) di $M_{2}R$.
Come si fa? In aula abbiamo fatto esercizi per trovare le basi...ma avevo in "mano" i vettori, NON le matrici. Penso che ciò mi abbia bloccato in merito e mi impedisca di vedere la via della risoluzione.
Chi mi illumina?
Grazie mille
all'esame di discreto mi é stato dato questo esercizio:
"Determinare una base B del sottospazio U dello spazio vettoriale $M_{2}R$ generato dalle matrici $M_{1}=((1,1),(0,0))$, $M_{2}=((0,0),(1,1))$, $M_{3}=((1,0),(1,0))$, $M_{4}=((0,2),(1,3))$. Completare la base trovata a una base dello spazio (di dimensione 4) di $M_{2}R$.
Come si fa? In aula abbiamo fatto esercizi per trovare le basi...ma avevo in "mano" i vettori, NON le matrici. Penso che ciò mi abbia bloccato in merito e mi impedisca di vedere la via della risoluzione.
Chi mi illumina?
Grazie mille
Risposte
Se preferisci avere vettori piuttosto che matrici, puoi usare l'isomorfismo di spazi vettoriali $M_2(\mathbb R)\to\mathbb R^4$ definito da $$\left(\matrix{
a & b\cr
c & d\cr}\right)\longmapsto (a,b,c,d).$$
a & b\cr
c & d\cr}\right)\longmapsto (a,b,c,d).$$
Ciao!
Non pensavo di poterle trasformare in vettori cosi semplicemente.
La matrice M1 è diventato il vettore $v1= (1,1,0,0)$
La matrice M2 è diventato il vettore $v2= (0,0,1,1)$
La matrice M3 è diventato il vettore $v3= (1,0,1,0)$
La matrice M4 è diventato il vettore $v4= (0,2,1,3)$
Ho risolto l'esercizio con l'agoritmo degli scarti successivi.
{V1} mi risulta linearmente indipendente e pertanto lo tengo
{v1, v2} mi risultano linearmente indipendenti e pertanto li tengo
{v1, v2, v3} sono linearmente indipendenti e pertanto li tengo
{v1, v2, v3, v4) sono linearmente DIPENDENTI e pertanto scarto v4
Ho svolto i "test" sulla linearità con gauss. Vi risultano corretti?
A questo punto la base del sottospazio sarà composta dai vettori {v1, v2, v3}.
non so però cosa chieda bene il punto successivo..."completare la base trovata a una base dello spazio" intende forse che devo trovare un vettore che mi permetta di ottenere una base del sottospazio di dimesione 4? (e che quindi sia linearmente indipendente con i vettori {v1, v2, v3}?)
Grazie per l'aiuto
Non pensavo di poterle trasformare in vettori cosi semplicemente.
La matrice M1 è diventato il vettore $v1= (1,1,0,0)$
La matrice M2 è diventato il vettore $v2= (0,0,1,1)$
La matrice M3 è diventato il vettore $v3= (1,0,1,0)$
La matrice M4 è diventato il vettore $v4= (0,2,1,3)$
Ho risolto l'esercizio con l'agoritmo degli scarti successivi.
{V1} mi risulta linearmente indipendente e pertanto lo tengo
{v1, v2} mi risultano linearmente indipendenti e pertanto li tengo
{v1, v2, v3} sono linearmente indipendenti e pertanto li tengo
{v1, v2, v3, v4) sono linearmente DIPENDENTI e pertanto scarto v4
Ho svolto i "test" sulla linearità con gauss. Vi risultano corretti?
A questo punto la base del sottospazio sarà composta dai vettori {v1, v2, v3}.
non so però cosa chieda bene il punto successivo..."completare la base trovata a una base dello spazio" intende forse che devo trovare un vettore che mi permetta di ottenere una base del sottospazio di dimesione 4? (e che quindi sia linearmente indipendente con i vettori {v1, v2, v3}?)
Grazie per l'aiuto
Quello che hai detto mi sembra tutto giusto! Come hai capito, in generale se hai dei vettori linearmente indipendenti $v_1,\ldots,v_k$ di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, completarli a base significa trovare $n-k$ vettori $v_{k+1},\ldots,v_n$ tali che $$\langle v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n\rangle=V.$$
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
Per completare la base trovata a una base dello spazio (dimensione 4), ho scelto il vettore $v4= (0,0,0,1)$.
Esso attraverso gauss risulta linearmente indipendente e pertanto lo tengo. Cio implica che la base del sottospazio è ora di dimensione 4
Esso attraverso gauss risulta linearmente indipendente e pertanto lo tengo. Cio implica che la base del sottospazio è ora di dimensione 4
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