Base di un sottospazio
Salve a tutti, ho dei dubbi su questo esercizio:
Dati i vettori $v_1 = (2, −1, 1), v_2 = (4, −2, 2), v_3 = (1, 1, 0), v_4 = (0, −3, 1)$ e gli scalari $a_1 = 3, a_2 = −1, a_3 = −2, a_4 = −1$, calcolare la combinazione lineare dei vettori $v_1, ..., v_4$ secondo gli scalari $a_1,..., a_4$ e da questa dedurre che i vettori dati sono linearmente dipendenti.
Detto $U = Span{v_1,...,v_4}$, trovare una base di $U$, la sua dimensione e completare poi la base trovata a una base di $RR^3$.
Il primo punto è banale, infatti ottengo:
$a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=(0,0,0)$
quindi i vettori dati sono linearmente dipendenti.
Poi riduco per righe la matrice dei vettori $v_1,..,v_4$ in questo modo:
$( (2,-1,1), (4, -2,2),(1,1,0), (0,-3,1))$
$( (2,-1,1), (0, 0, 0),(1,1,0), (0,-3,1))$
$( (2,-1,1), (0, 0, 0),(0,-3,1), (0,-3,1))$
$( (2,-1,1), (0, -3, 1),(0,0,0), (0,0,0))$
Quindi una base di $U$ è data da $(2,-1,1)$ e $(0,-3,1)$ e risulta $dim(U)=2$ mentre per completarla ad $RR^3$ basta aggiungere un vettore di $RR^3$ e controllare che il rango della matrice ottenuta mettendo questi 3 vettori sia 3, quindi ad esempio:
$( (2,-1,1),(0,-3,1),(1,0,0))$
Siccome sta roba ha rango 3 i vettori sono linearmente indipendenti.
E' giusto? Grazie in anticipo.
Dati i vettori $v_1 = (2, −1, 1), v_2 = (4, −2, 2), v_3 = (1, 1, 0), v_4 = (0, −3, 1)$ e gli scalari $a_1 = 3, a_2 = −1, a_3 = −2, a_4 = −1$, calcolare la combinazione lineare dei vettori $v_1, ..., v_4$ secondo gli scalari $a_1,..., a_4$ e da questa dedurre che i vettori dati sono linearmente dipendenti.
Detto $U = Span{v_1,...,v_4}$, trovare una base di $U$, la sua dimensione e completare poi la base trovata a una base di $RR^3$.
Il primo punto è banale, infatti ottengo:
$a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=(0,0,0)$
quindi i vettori dati sono linearmente dipendenti.
Poi riduco per righe la matrice dei vettori $v_1,..,v_4$ in questo modo:
$( (2,-1,1), (4, -2,2),(1,1,0), (0,-3,1))$
$( (2,-1,1), (0, 0, 0),(1,1,0), (0,-3,1))$
$( (2,-1,1), (0, 0, 0),(0,-3,1), (0,-3,1))$
$( (2,-1,1), (0, -3, 1),(0,0,0), (0,0,0))$
Quindi una base di $U$ è data da $(2,-1,1)$ e $(0,-3,1)$ e risulta $dim(U)=2$ mentre per completarla ad $RR^3$ basta aggiungere un vettore di $RR^3$ e controllare che il rango della matrice ottenuta mettendo questi 3 vettori sia 3, quindi ad esempio:
$( (2,-1,1),(0,-3,1),(1,0,0))$
Siccome sta roba ha rango 3 i vettori sono linearmente indipendenti.
E' giusto? Grazie in anticipo.
Risposte
Giusto.
"Obidream":si ok, hai appena (di)mostrato che esistono \(4 \) scalari non tutti nulli e la combinazione di questi con i \(4\) vettori da il vettore nullo.. ergo per definizione sono lin. dipendenti su \( \Bbb{R}\)!
Salve a tutti, ho dei dubbi su questo esercizio:
Dati i vettori $v_1 = (2, −1, 1), v_2 = (4, −2, 2), v_3 = (1, 1, 0), v_4 = (0, −3, 1)$ e gli scalari $a_1 = 3, a_2 = −1, a_3 = −2, a_4 = −1$, calcolare la combinazione lineare dei vettori $v_1, ..., v_4$ secondo gli scalari $a_1,..., a_4$ e da questa dedurre che i vettori dati sono linearmente dipendenti.
"Obidream":Io avrei fatto una ulteriore verifica, ma potrei peccare nel ragionamento, cioè avrei mostrato anche che \(v_2,v_3 \in \mathscr{L}(v_1,v_4)\)
Detto $U = Span{v_1,...,v_4}$, trovare una base di $U$, la sua dimensione e completare poi la base trovata a una base di $RR^3$.
Il primo punto è banale, infatti ottengo:
$a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=(0,0,0)$
quindi i vettori dati sono linearmente dipendenti.
Poi riduco per righe la matrice dei vettori $v_1,..,v_4$ in questo modo:
$( (2,-1,1), (4, -2,2),(1,1,0), (0,-3,1)) -> ( (2,-1,1), (0, 0, 0),(1,1,0), (0,-3,1)) -> ( (2,-1,1), (0, 0, 0),(0,-3,1), (0,-3,1)) -> ( (2,-1,1), (0, -3, 1),(0,0,0), (0,0,0))$
Quindi una base di $U$ è data da $(2,-1,1)$ e $(0,-3,1)$ e risulta $dim(U)=2$
"Obidream":esattamente, ti basta aggiungere, secondo la teoria, un vettore libero \(e\) tale che \(e \notin \mathscr{L}(v_1,v_4)\)
mentre per completarla ad $RR^3$ basta aggiungere un vettore di $RR^3$ e controllare che il rango della matrice ottenuta mettendo questi 3 vettori sia 3, quindi ad esempio:
$( (2,-1,1),(0,-3,1),(1,0,0))$
Siccome sta roba ha rango 3 i vettori sono linearmente indipendenti.
E' giusto? Grazie in anticipo.
Ciao
Grazie mille ad entrambi!
[/quote]
Non so dirti con certezza se sia corretto o meno, ma puoi mostrarmi come procederesti col ragionamento?
"garnak.olegovitc":Io avrei fatto una ulteriore verifica, ma potrei peccare nel ragionamento, cioè avrei mostrato anche che \( v_2,v_3 \notin \mathscr{L}(v_1,v_4) \)
[quote="Obidream"]Detto $ U = Span{v_1,...,v_4} $, trovare una base di $ U $, la sua dimensione e completare poi la base trovata a una base di $ RR^3 $.
Il primo punto è banale, infatti ottengo:
$ a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=(0,0,0) $
quindi i vettori dati sono linearmente dipendenti.
Poi riduco per righe la matrice dei vettori $ v_1,..,v_4 $ in questo modo:
$ ( (2,-1,1), (4, -2,2),(1,1,0), (0,-3,1)) -> ( (2,-1,1), (0, 0, 0),(1,1,0), (0,-3,1)) -> ( (2,-1,1), (0, 0, 0),(0,-3,1), (0,-3,1)) -> ( (2,-1,1), (0, -3, 1),(0,0,0), (0,0,0)) $
Quindi una base di $ U $ è data da $ (2,-1,1) $ e $ (0,-3,1) $ e risulta $ dim(U)=2 $
[/quote]Non so dirti con certezza se sia corretto o meno, ma puoi mostrarmi come procederesti col ragionamento?
no scusami oggi proprio non ci sono... dovevo scrivere \(v_2,v_3 \in \mathscr{L}(v_1,v_4)\) ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"garnak.olegovitc":
no scusami oggi proprio non ci sono... dovevo scrivere \( v_2,v_3 \in \mathscr{L}(v_1,v_4) \)
Ah ho capito ciò che intendi! Se la traccia fosse un pochino diversa andrebbe fatto però imho in questo caso non serve
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