Base di un intersezione di spazi vettoriali
Ciao a tutti, in questo esercizio ho due spazi vettoriali H e K con le relative basi e devo determinare la dimensione della loro intersezione e la conseguente base.
H= $ {( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) } $ ; K= $ {( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 3 ),( 0 ),( -4 ) ) } $
Quindi, dim(H)=2 e dim(K)=3. Cerco dim(H+K): (H+K)= $ ( ( 2 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ) ) $ e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo: $ ( ( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , -2 , -8 ),( 0 , 0 , 0 , -5 , -25 ) ) $, segue che rg(H*K)=4=dim(H*K). Da Grassman ottengo dim( $ H nn K $ )=dim(H)+dim(K)-dim(H*K)=2+3-4=1.
Ora, per trovare la base dell'intersezione pongo:
a $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ +b $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ +c $ ( ( -1 ),( -2 ),( 0 ),( -1 ) ) $ +d $ ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( -1 ) ) $ +e $ ( ( 0 ),( -3 ),( 0 ),( 4 ) ) $ =0 , metto a sistema e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo: $ ( ( 1 , 0 , -1 , -1 , 4 ),( 2 , 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -3 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , -4 ) ) $ . Per la 4° colonna (quella della coordinata e) non esiste un pivot, quindi pongo e=k con k=variabile indipendente. Porto a sistema e ottengo: $ ( ( a),( b ),( c ),( d ) ) $=$ ( ( 7k ),( 4k ),( -k ),( 4k ) ) $= k$ ( ( 7 ),( 4 ),( -1 ),( 4 ) ) $.
Ora ho dei dubbi: se pongo k=1/7 ottengo a=1 e b=4/7 che inseriti nella base di H danno: 1$ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ +4/7$ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ = $ ( ( 2 ),( -1 ),( 4/7 ),( 1 ) ) $ che sarebbe la base dell'intersezione.
E' corretto quest ultimo passaggio? Nel caso non lo sia, con che criterio devo dare un valore a k?
Grazie a chi mi risponde.
.BRN
H= $ {( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) } $ ; K= $ {( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 3 ),( 0 ),( -4 ) ) } $
Quindi, dim(H)=2 e dim(K)=3. Cerco dim(H+K): (H+K)= $ ( ( 2 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ) ) $ e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo: $ ( ( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , -2 , -8 ),( 0 , 0 , 0 , -5 , -25 ) ) $, segue che rg(H*K)=4=dim(H*K). Da Grassman ottengo dim( $ H nn K $ )=dim(H)+dim(K)-dim(H*K)=2+3-4=1.
Ora, per trovare la base dell'intersezione pongo:
a $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ +b $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ +c $ ( ( -1 ),( -2 ),( 0 ),( -1 ) ) $ +d $ ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( -1 ) ) $ +e $ ( ( 0 ),( -3 ),( 0 ),( 4 ) ) $ =0 , metto a sistema e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo: $ ( ( 1 , 0 , -1 , -1 , 4 ),( 2 , 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -3 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , -4 ) ) $ . Per la 4° colonna (quella della coordinata e) non esiste un pivot, quindi pongo e=k con k=variabile indipendente. Porto a sistema e ottengo: $ ( ( a),( b ),( c ),( d ) ) $=$ ( ( 7k ),( 4k ),( -k ),( 4k ) ) $= k$ ( ( 7 ),( 4 ),( -1 ),( 4 ) ) $.
Ora ho dei dubbi: se pongo k=1/7 ottengo a=1 e b=4/7 che inseriti nella base di H danno: 1$ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ +4/7$ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ = $ ( ( 2 ),( -1 ),( 4/7 ),( 1 ) ) $ che sarebbe la base dell'intersezione.
E' corretto quest ultimo passaggio? Nel caso non lo sia, con che criterio devo dare un valore a k?
Grazie a chi mi risponde.
.BRN
Risposte
sia $w$ il generico vettore tale che $w in (H nn K)$
allora dato che $w in H$ e $w in K$ $->$ $w=\alpha*[[2],[-1],[0],[1]]+\beta*[[0],[0],[1],[0]]=\gamma*[[1],[2],[0],[1]]+\delta*[[0],[0],[1],[1]]+\lambda*[[0],[3],[0],[-4]]$
impostando un semplice sistema trovi che $w=[[6],[-3],[-23],[3]]$
cioe $H nn K=<[[6],[-3],[-23],[3]]>$
allora dato che $w in H$ e $w in K$ $->$ $w=\alpha*[[2],[-1],[0],[1]]+\beta*[[0],[0],[1],[0]]=\gamma*[[1],[2],[0],[1]]+\delta*[[0],[0],[1],[1]]+\lambda*[[0],[3],[0],[-4]]$
impostando un semplice sistema trovi che $w=[[6],[-3],[-23],[3]]$
cioe $H nn K=<[[6],[-3],[-23],[3]]>$
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