Base di $ RR^3 $
Sono dati i seguenti vettori in $ RR^3 $:
\( u_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, u_2= \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, u_3=\begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\ 14 \end{pmatrix}, u_4= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
mi chiede di capire se la famiglia formata dai quattro vettori è libera e se è un generatore dello spazio vettoriale.
a me istintivamente verrebbe da dire che non può essere perchè in quel caso formerebbe una base ma la dimensione dello spazio è 3 e il numero di vettori che forma la base non può eccedere la dimensione (proprio per definizione di dimensione). se però mi metto a calcolare il rango della matrice trovo che questa ha rango massimo e da questo dovrei poter dire che quattro vettori formano una base (o sbaglio?). a meno di errori con Gauss e ponendo i vettori come colonne della matrice, ottengo questa matrice ridotta: $ ( ( 1 , 4 , 9 , 0 ),( 0 , -1 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ che, correggetemi se sbaglio, ha rango 3 (per cui rango massimo). non capisco dove stia l'errore.
secondo problema è questo: data la base formata dai vettori 1 2 4, trovare le coordinate di u in questa base. qui proprio non so come muovermi. potreste per piacere darmi una sorta di scaletta del procedimento? grazie 1000 a tutti
\( u_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, u_2= \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, u_3=\begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\ 14 \end{pmatrix}, u_4= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
mi chiede di capire se la famiglia formata dai quattro vettori è libera e se è un generatore dello spazio vettoriale.
a me istintivamente verrebbe da dire che non può essere perchè in quel caso formerebbe una base ma la dimensione dello spazio è 3 e il numero di vettori che forma la base non può eccedere la dimensione (proprio per definizione di dimensione). se però mi metto a calcolare il rango della matrice trovo che questa ha rango massimo e da questo dovrei poter dire che quattro vettori formano una base (o sbaglio?). a meno di errori con Gauss e ponendo i vettori come colonne della matrice, ottengo questa matrice ridotta: $ ( ( 1 , 4 , 9 , 0 ),( 0 , -1 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $ che, correggetemi se sbaglio, ha rango 3 (per cui rango massimo). non capisco dove stia l'errore.
secondo problema è questo: data la base formata dai vettori 1 2 4, trovare le coordinate di u in questa base. qui proprio non so come muovermi. potreste per piacere darmi una sorta di scaletta del procedimento? grazie 1000 a tutti
Risposte
i)
La scelta dello studio del rango è corretta.
Infatti, esso rappresenta la dimensione dello spazio $C(A)$, ossia dello spazio generato dalle colonne della matrice. Ma tali colonne sono proprio i candidati vettori del sistema di generatori, pertanto sappiamo che l'insieme ${u_1,u_2,u_3,u_4}$ è un insieme di generatori di $RR^3$ poiché il rango è proprio 3.
ii)
Abbiamo la base formata da $u_1,u_2,u_4$.
Tu hai scritto trovare le coordinate di $u$... con $u$ intendi $u_3$?
In tal caso, si tratta di scrivere $u_3$ come combinazione lineare degli altri tre vettori che compongono la base:
quindi: $((-2),(9),(14))=x((0),(1),(2))+y((-1),(4),(6))+z((0),(0),(-2))$
Le coordinate di $u_3$ sono date dalla terna $((x),(y),(z))$, che risolvendo il sistema è $((1),(2),(0))$
La scelta dello studio del rango è corretta.
Infatti, esso rappresenta la dimensione dello spazio $C(A)$, ossia dello spazio generato dalle colonne della matrice. Ma tali colonne sono proprio i candidati vettori del sistema di generatori, pertanto sappiamo che l'insieme ${u_1,u_2,u_3,u_4}$ è un insieme di generatori di $RR^3$ poiché il rango è proprio 3.
ii)
Abbiamo la base formata da $u_1,u_2,u_4$.
Tu hai scritto trovare le coordinate di $u$... con $u$ intendi $u_3$?
In tal caso, si tratta di scrivere $u_3$ come combinazione lineare degli altri tre vettori che compongono la base:
quindi: $((-2),(9),(14))=x((0),(1),(2))+y((-1),(4),(6))+z((0),(0),(-2))$
Le coordinate di $u_3$ sono date dalla terna $((x),(y),(z))$, che risolvendo il sistema è $((1),(2),(0))$
i) ma se quindi i quattro vettori lo generano e il rango della matrice è massimo, non potreii concludere che allora quella famiglia è una base? ma se così fosse la dimensione di $RR^3$ dovrebbe essere 4.
ii) il vettore u era un generico vettore u=(x,y,z). fa lo stesso?
ii) il vettore u era un generico vettore u=(x,y,z). fa lo stesso?
i)
una base è un insieme di generatori linearmente indipendente.
L' unico modo per ottenere il vettore nullo, a partire da una combinazione lineare dei vettori che formano l'insieme, è che tutti gli scalari siano nulli.
Come puoi verificare, tali vettori non sono linearmente indipendenti, e quindi non formano una base.
Possiamo però estrarre da questo insieme un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti (sono 3, e precisamente sono individuati dai vettori colonna che contengono i pivot), tali per cui essi costituiscono una base.
Ricorda che uno spazio vettoriale di dimensione $n$ ha per base $n$ vettori linearmente indipendenti. $RR^3$ ha dimensione 3. Parlare di $R^4$ implica che ci siano vettori con del tipo $(x,y,z,t)$, cioè con 4 componenti, e non è il nostro caso.
ii)
sì
una base è un insieme di generatori linearmente indipendente.
L' unico modo per ottenere il vettore nullo, a partire da una combinazione lineare dei vettori che formano l'insieme, è che tutti gli scalari siano nulli.
Come puoi verificare, tali vettori non sono linearmente indipendenti, e quindi non formano una base.
Possiamo però estrarre da questo insieme un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti (sono 3, e precisamente sono individuati dai vettori colonna che contengono i pivot), tali per cui essi costituiscono una base.
Ricorda che uno spazio vettoriale di dimensione $n$ ha per base $n$ vettori linearmente indipendenti. $RR^3$ ha dimensione 3. Parlare di $R^4$ implica che ci siano vettori con del tipo $(x,y,z,t)$, cioè con 4 componenti, e non è il nostro caso.
ii)
sì
Perdonate l'intrusione, ma vorrei far notare una "piccola" cosa:
Il rango massimo di una matrice $3xx4$ è $3$; ciò significa che tre vettori sono linearmente indipendenti, e uno qualsiasi di quei quattro è C.L. dei rimanenti!
"cooper":
se però mi metto a calcolare il rango della matrice trovo che questa ha rango massimo e da questo dovrei poter dire che quattro vettori formano una base (o sbaglio?).
"cooper":
i) ma se quindi i quattro vettori lo generano e il rango della matrice è massimo, non potreii concludere che allora quella famiglia è una base? ma se così fosse la dimensione di $RR^3$ dovrebbe essere 4.
Il rango massimo di una matrice $3xx4$ è $3$; ciò significa che tre vettori sono linearmente indipendenti, e uno qualsiasi di quei quattro è C.L. dei rimanenti!
grazie a tutti. un'ultima cosa: nel punto ii ho potuto eguagliare il sistema alle coordinate di $u_3$ se non le avessi avute avrei dovuto eguagliare il sistema al vettore nullo?
ii) eguagliare tale sistema al vettore nullo ti consente di studiare l'indipendenza lineare... (se ho capito bene la domanda)
Se volevi le coordinate di un generico vettore avresti dovuto eguagliare il sistema al generico vettore come avevi detto prima.
Se volevi le coordinate di un generico vettore avresti dovuto eguagliare il sistema al generico vettore come avevi detto prima.
ok grazie
Prego, spero sia chiaro 
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