Base di $R^3$
Buona domenica a tutti!ho risolto questo esercizio e siccome non ho soluzioni volevo chiedermi se qualcuno sa dirmi se ho ragionato bene anche dal punto di vista dei calcoli! Allora:
Si dimostri che i vettori $u_(1)=(1,0,0)$ $u_(2)=(1,1,0)$ $u_(3)=(1,-1,1)$ sono una base di $R^3$, e si calcolino le coordinate del vettore $v=(-3,7,4)$ rispetto a tale base.
Io per verificare l' indipendenza dei vettori ho osservato che $u_(2)$ non e' multiplo di $u_(1)$, e $u_(3)$ non può esser scritto come combinazione lineare dei primi 2 vettori, quindi i vettori possono esser una base di $R^3$
verifico poi che effettivamente essi siano generatori di $R^3$: considero un vettore qualsiasi $(a,b,c)$ e lo calcolo come combinazione lineare dei 3 vettori $u_(1)$ $u_(2)$ $u_(3)$ e ottengo il sistema :
$\lambda _(1)+\lambda_(2)+\lambda_(3)=a$
$\lambda_(2)-\lambda_(3)=b$
$\lambda_(3)=c$
Da cui ottengo : $\lambda_(1)=a-b-2c$ , $\lambda_(2)=b+c$ e $\lambda_(3)=c$ quindi le coord. di $v$ rispetto alla base sono verificate per a=-3 b=7 c=4. E ho allora: $\lambda_(1)=-18$ $\lambda_(2)=11$ e $\lambda_(3)=4$
sono giusti i calcoli?ho verificato tutto vero!mi dareste una grande mano perché non saprei come verificare il tutto in altra maniera!:)
Si dimostri che i vettori $u_(1)=(1,0,0)$ $u_(2)=(1,1,0)$ $u_(3)=(1,-1,1)$ sono una base di $R^3$, e si calcolino le coordinate del vettore $v=(-3,7,4)$ rispetto a tale base.
Io per verificare l' indipendenza dei vettori ho osservato che $u_(2)$ non e' multiplo di $u_(1)$, e $u_(3)$ non può esser scritto come combinazione lineare dei primi 2 vettori, quindi i vettori possono esser una base di $R^3$
verifico poi che effettivamente essi siano generatori di $R^3$: considero un vettore qualsiasi $(a,b,c)$ e lo calcolo come combinazione lineare dei 3 vettori $u_(1)$ $u_(2)$ $u_(3)$ e ottengo il sistema :
$\lambda _(1)+\lambda_(2)+\lambda_(3)=a$
$\lambda_(2)-\lambda_(3)=b$
$\lambda_(3)=c$
Da cui ottengo : $\lambda_(1)=a-b-2c$ , $\lambda_(2)=b+c$ e $\lambda_(3)=c$ quindi le coord. di $v$ rispetto alla base sono verificate per a=-3 b=7 c=4. E ho allora: $\lambda_(1)=-18$ $\lambda_(2)=11$ e $\lambda_(3)=4$
sono giusti i calcoli?ho verificato tutto vero!mi dareste una grande mano perché non saprei come verificare il tutto in altra maniera!:)
Risposte
Non ho capito il modo di procedere nel primo punto. Perchè hai scelto $u_2$ arbitrariamente?
Non va bene. Prendi $e_1,e_2,3e_1$. E' ovvio che tale insieme è legato e non può essere una base. D'altra parte $e_2$ non è multiplo nè di $e_1$ nè di $3e_1$ e non può essere loro combinazione lineare.
Devi provare che la loro combinazione lineare nulla implica che i coefficienti siano nulli!
Non va bene. Prendi $e_1,e_2,3e_1$. E' ovvio che tale insieme è legato e non può essere una base. D'altra parte $e_2$ non è multiplo nè di $e_1$ nè di $3e_1$ e non può essere loro combinazione lineare.
Devi provare che la loro combinazione lineare nulla implica che i coefficienti siano nulli!
per verificare che i tre vettori siano linearmente indipendenti puoi calcolare il determinante della matrice che ha per colonne (ma anche per righe) i tre vettori: questi sono lin indipendenti se e solo se il determinante è non nullo. Dato che la dimensione dello spazio è 3, ti basta sapere che i vettori sono linearmente indipendenti! infatti essi generano un sottospazio di dimensione 3, quindi l'intero spazio. Per trovare le componenti di un vettore v (di cui conosci le componenti rispetto alla vecchia base, in questo caso la base canonica) rispetto alla nuova base ti basta moltiplicarlo per la matrice che ha per colonne le componenti dei vettori della nuova base rispetto alla vecchia (in questo caso i vettori così come te li hanno dati)
Le matrici pero' non le ho ancora fatte!Ci arriverò domani se seguo il programma giusto!e cercherò di capirlo allora!io comunque ho seguito una traccia delle mie dispense che era stata risolta con lo stesso metodo ma con numeri diversi!e' sbagliato quindi?dove in particolare?
per verificare che i tre vettori sono linearmente indipendenti devi verificare che non esiste una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che dia il vettore nullo. In altri termini [tex]\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \lambda_3 e_3=0 \implies \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/tex]. per verificarlo devi quindi risolvere il sistema[tex]{\lambda_1 + \lambda_2+\lambda_3=0 , \lambda_2 -\lambda_3=0 , \lambda_3=0}[/tex]. Essendo un sistema omogeneo ammette la soluzione nulla (come si vede a prima vista); dato che la matrice dei coefficienti ha determinante non nullo, questa è l'unica soluzione (ma tu lo puoi verificare agevolmente a mano risolvendolo per sostituzione). In ogni caso la teoria delle matrici ti semplificherà molto la vita!
Ci arriverò oggi!!le faro' molto bene allora!!
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