Base dello spazio nullo
Mi è venuto un dubbio banale, ma atroce: una base dello spazio nullo è data dall'insieme vuoto o dall'insieme che contiene il solo vettore nullo? Secondo me dall'insieme vuoto, perché la dimensione di tale spazio è zerp, aspetto comunque una conferma o una smentita.
Risposte
intendi il nucleo?
in tal caso non è {} (lo 0 ci vuole sempre), né forzatamente {0}.
in tal caso non è {} (lo 0 ci vuole sempre), né forzatamente {0}.
Non il nucleo, la base. Ad esempio, in $\mathbb{R}^{2}$ la base del sottospazio di equazione $y=x$ è data dal solo vettore $(1,1)$, e infatti tale sottospazio ha dimensione $1$.
L'insieme vuoto è una base per lo spazio vettoriale nullo $V={O/}$. Infatti $O/$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti e $O/$ genera $V$.
Saluti, Ermanno.
Saluti, Ermanno.
quello che dice leonardo è corretto
naturalmente c'è dietro la questione di usare la convenzione che meglio funge rispetto ai casi "normali" (un po' come $a^0$...)
visto che uno sp vett generato da 1 vettore ha dim 1, sarebbe carino che lo sp vett costituito dal solo vett nullo abbia dim 0
e allora così sia...
naturalmente c'è dietro la questione di usare la convenzione che meglio funge rispetto ai casi "normali" (un po' come $a^0$...)
visto che uno sp vett generato da 1 vettore ha dim 1, sarebbe carino che lo sp vett costituito dal solo vett nullo abbia dim 0
e allora così sia...
Giusta precisazione!
Io volevo fare due considerazioni:
(1) Se gli elementi di un insieme finito $X sube V$ sono linearmente indipendenti, allora anche gli elementi di un qualunque sottoinsieme non vuoto $Y sube X$ sono linearmente indipendenti. Ad esempio, supponiamo che $v_1,v_2,...,v_t$ sono linearmente indipendenti. Sia $alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_t*v_t=0$ una loro combinazione lineare nulla. Allora dall'uguaglianza $alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_t*v_t+0*v_{t+1}+...+0*v_m=0$ e dall'indipendenza lineare di $v_1,v_2,...,v_m$ segue che $alpha_i=0$ per ogni $i=1,2,...,t$. Quindi $v_1,v_2,...,v_t$ sono linearmente indipendenti. Estendendo questo risultato anche al caso del sottoinsieme vuoto, anche quest'ultimo risulta essere un insieme di vettori linearmente indipendenti.
(2) Per ogni spazio vettoriale $V$ si ha $(:O/:)={0_V}$, cioè il sottoinsieme vuoto genera il sottospazio nullo ${0_V}$ di $V$. (Quindi in particolare lo spazio vettoriale $V$ è lo spazio vettoriale nullo avente un unico elemento se e solo se l'insieme vuoto è un'insieme di generatori per $V$.)
Quindi data la seguente proposizione: "Se $V$ è uno spazio vettoriale su un campo $K$, $v_1,v_2,...,v_m$ sono $m>=1$ vettori appartenenti a $V$, $X={v_1,v_2,...,v_m}$ e $(:X:)$ è il sottospazio vettoriale di $V$ generato da $X$, allora $(:X:)={alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_m*v_m|alpha_1,alpha_2,...,alpha_m in K}$", possiamo scrivere il vettore nullo $0_V$ come combinazione lineare di un insieme vuoto di vettori.
Io volevo fare due considerazioni:
(1) Se gli elementi di un insieme finito $X sube V$ sono linearmente indipendenti, allora anche gli elementi di un qualunque sottoinsieme non vuoto $Y sube X$ sono linearmente indipendenti. Ad esempio, supponiamo che $v_1,v_2,...,v_t$ sono linearmente indipendenti. Sia $alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_t*v_t=0$ una loro combinazione lineare nulla. Allora dall'uguaglianza $alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_t*v_t+0*v_{t+1}+...+0*v_m=0$ e dall'indipendenza lineare di $v_1,v_2,...,v_m$ segue che $alpha_i=0$ per ogni $i=1,2,...,t$. Quindi $v_1,v_2,...,v_t$ sono linearmente indipendenti. Estendendo questo risultato anche al caso del sottoinsieme vuoto, anche quest'ultimo risulta essere un insieme di vettori linearmente indipendenti.
(2) Per ogni spazio vettoriale $V$ si ha $(:O/:)={0_V}$, cioè il sottoinsieme vuoto genera il sottospazio nullo ${0_V}$ di $V$. (Quindi in particolare lo spazio vettoriale $V$ è lo spazio vettoriale nullo avente un unico elemento se e solo se l'insieme vuoto è un'insieme di generatori per $V$.)
Quindi data la seguente proposizione: "Se $V$ è uno spazio vettoriale su un campo $K$, $v_1,v_2,...,v_m$ sono $m>=1$ vettori appartenenti a $V$, $X={v_1,v_2,...,v_m}$ e $(:X:)$ è il sottospazio vettoriale di $V$ generato da $X$, allora $(:X:)={alpha_1*v_1+alpha_2*v_2+...+alpha_m*v_m|alpha_1,alpha_2,...,alpha_m in K}$", possiamo scrivere il vettore nullo $0_V$ come combinazione lineare di un insieme vuoto di vettori.
ok, leonardo
aggiungo che c'è anche la convenzione solita:
$\sum_{x \in O/} a_x = 0$
quindi gli ingranaggi girano tutti che è un piacere
PS: e tutto per un miserabile singleton!
aggiungo che c'è anche la convenzione solita:
$\sum_{x \in O/} a_x = 0$
quindi gli ingranaggi girano tutti che è un piacere
PS: e tutto per un miserabile singleton!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo