Base dello spazio dei polinomi

[petrogass]

Salve, avrei bisogno di un aiuto a risolvere questo esercizio. Credo sia da fare per induzione ma ho problemi col passo induttivo sia per quanto riguarda la prima richiesta che la seconda.

Dati i monomi $ 1, x, x^2, ... , x^n $ che formano una base dello spazio dei polinomi $ <=n $ si dimostri che anche i polinomi $ 1, (x+a), (x+a)^2, ... , (x+a)^n $ formano una base di tale spazio. Si trovi poi la rappresentazione degli elementi di una base tramite gli elementi dell'altra e viceversa

[killing_buddha]

Basta espandere \((x+a)^p = \sum \binom{p}{i}a^{p-i}x^i\) per avere la matrice in un verso.

[petrogass]

"killing_buddha":Basta espandere \((x+a)^p = \sum \binom{p}{i}a^{p-i}x^i\) per avere la matrice in un verso.

E nel senso opposto? non avendo una matrice finita non saprei manco come invertirla

[killing_buddha]

In che senso "non avendo una matrice finita"? $n$ è fissato; trova una ricorrenza per la matrice e fai il matematico ottocentesco trovando un modo ragionevole di esprimere in forma chiusa il suo determinante (e la sua inversa) come funzione chiusa di $n$.

[killing_buddha]

Questa, per esempio, è la matrice per $n=6$:
\[\begin{pmatrix}
a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
a^2 & 2 a & 1 & 0 & 0 & 0 \\
a^3 & 3 a^2 & 3 a & 1 & 0 & 0 \\
a^4 & 4 a^3 & 6 a^2 & 4 a & 1 & 0 \\
a^5 & 5 a^4 & 10 a^3 & 10 a^2 & 5 a & 1 \\
a^6 & 6 a^5 & 15 a^4 & 20 a^3 & 15 a^2 & 6 a
\end{pmatrix}\] il determinante è $a^6$; questo ti dà una buona idea su come fare un guess di cosa è vero, e dimostrarlo poi per induzione su $n$. Chiaramente, piuttosto che scrivere esplicitamente l'inversa di questo aggeggio, dovresti preferire un calcio nei denti.