Base dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo.
Come si trova per l'appunto una base dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo...o per lo meno mi potreste spiegare la domanda che magari so come si svolge ma non riesco a capirla...
Risposte
Ad esempio puoi seguire l'eliminazione di Gauss.
Allora, una volta risolto il sistema omogeneo ti si presentano due possibilità:
1) ammette solo la soluzione nulla, quindi lo spazio generato dalle soluzioni di quel sistema contiene il solo vettore nullo;
2) ammette infinite soluzioni dipendenti da $n-k$ parametri (dove $n$ è il numero delle incognite e $k$ è il rango della matrice associata al sistema):
In tal caso per trovare una base al primo colpo assegni un valore casuale (1 per comodità) al primo parametro e 0 agli altri, e trovi un vettore; poi assegni 1 al secondo parametro e zero agli altri, e trovi un secondo vettore..quando lo avrai fatto per tutti i parametri, i vettori che otterrai saranno un insieme di generatori e inoltre saranno linearmente indipendenti, dandoti così una base dello spazio delle soluzioni..
1) ammette solo la soluzione nulla, quindi lo spazio generato dalle soluzioni di quel sistema contiene il solo vettore nullo;
2) ammette infinite soluzioni dipendenti da $n-k$ parametri (dove $n$ è il numero delle incognite e $k$ è il rango della matrice associata al sistema):
In tal caso per trovare una base al primo colpo assegni un valore casuale (1 per comodità) al primo parametro e 0 agli altri, e trovi un vettore; poi assegni 1 al secondo parametro e zero agli altri, e trovi un secondo vettore..quando lo avrai fatto per tutti i parametri, i vettori che otterrai saranno un insieme di generatori e inoltre saranno linearmente indipendenti, dandoti così una base dello spazio delle soluzioni..
Potresti scrivere direttamente le soluzioni come comdinazione lineare i cui coefficienti sono i parametri.
Dici che vuoi una spiegazione della domanda... quindi mi sembra di aver capito che tu non abbia neanche idea di cosa ti sia stato chiesto.
Un sistema è detto omogeneo quando tutti i termini noti delle equazioni che lo descrivono sono uguali a zero e l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, quindi, è l'insieme di tutti quei valori che, sostituiti alle incognite, soddisfano l'equazione omogenea.
Può succedere che, se i vettori della matrice associata al sistema sono indipendenti, il sistema ammetta come unica soluzione il vettore nullo. Ciò significa che una ipotetica equazione $\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n = 0$ risulta vera solo se $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$. In questo caso il problema di determinare la base non si pone perché i vettori sono linearmente indipendenti (nessuno si può esprimere in funzione di qualsiasi altro).
Se invece esistono anche solo due $\alpha_i, \alpha_j$ tali che $\alpha_ix_i+\alpha_jx_j = 0$ allora le cose cambiano. In questo caso l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo è un insieme infinitamente grande perché $\alpha_ix_i = -\alpha_jx_j => x_i = -x_j$ $AA x in RR$. L'insieme delle soluzioni di questo sistema è una retta.
A sua volta, quindi, lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio vettoriale (perché il vettore nullo è sempre soluzione del sistema) e come tale ha una base.
Non ti spiego come si svolge perché hai scritto di saperlo fare... mi auguro di averti aiutato a fare un po' di chiarezza.
Un sistema è detto omogeneo quando tutti i termini noti delle equazioni che lo descrivono sono uguali a zero e l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, quindi, è l'insieme di tutti quei valori che, sostituiti alle incognite, soddisfano l'equazione omogenea.
Può succedere che, se i vettori della matrice associata al sistema sono indipendenti, il sistema ammetta come unica soluzione il vettore nullo. Ciò significa che una ipotetica equazione $\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n = 0$ risulta vera solo se $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$. In questo caso il problema di determinare la base non si pone perché i vettori sono linearmente indipendenti (nessuno si può esprimere in funzione di qualsiasi altro).
Se invece esistono anche solo due $\alpha_i, \alpha_j$ tali che $\alpha_ix_i+\alpha_jx_j = 0$ allora le cose cambiano. In questo caso l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo è un insieme infinitamente grande perché $\alpha_ix_i = -\alpha_jx_j => x_i = -x_j$ $AA x in RR$. L'insieme delle soluzioni di questo sistema è una retta.
A sua volta, quindi, lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio vettoriale (perché il vettore nullo è sempre soluzione del sistema) e come tale ha una base.
Non ti spiego come si svolge perché hai scritto di saperlo fare... mi auguro di averti aiutato a fare un po' di chiarezza.
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