Base del radicale di un prodotto scalare

[matos1]

Stavo cercando alcuni esercizi svolti e per trovare la base del radicale di un prodotto scalare ho trovato come metodo risolutivo quello di:

1) Calcolare una matrice rappresentativa $M$ del prodotto scalare rispetto a una base $B$
2) prendere un vettore qualsiasi $vecx$ e scrivere il vettore componenti $vecx_c$ rispetto alla base B
3) Trovare le soluzioni di $M\vecx_c=\vec0_c$
4) Trovo la base dello spazio delle soluzioni $B_s$ di tale sistema omogeneo e le riespirmo rispetto a $B$, questo è una base del radicale del prodotto scalare.

Il mio dubbbio è il seguente, di solito il radicale o kernel del prodotto scalare è definito come l'insieme ${vecy in v|vecx*vecy=0, AA vecx in V}$ quindi in forma matriciale: ${vecy_c in v|vecx_cMvecy_c=0, AA vecx_c in V}$.

Rimaniamo nello spazio delle componenti da qui in avanti (così alleggerisco la notazione $x_c$), mi domando perché basta ridursi a cercare la soluzione solo di $M\vecy=\vec0$ e non di $vecxMvecy=0$?

E' infatti abbastanza evidente che se $M\vecy=\vec0_c$ => $vecx(Mvecy)=vecx*vec0=0$ (quindi per ogni x si annulla quando moltiplicato scalarmente per y).
Ora se chiamo $veck_c=Mvecy_c$ noto che in generale quando calcolo in componenti: $vecx_c*veck_c$ ci sono casi in cui tale prodotto può essere zero anche se $veck!=vec0$, un esempio stupido: $(a,b)*(-b,a)=0$, quindi trovare gli y t.c $M\vecy=\vec0_c$ esaurire tutti i casi in cui y può stare nel radicale.

Insomma devo capire perché a conti fatti $veca in {vecy in v|vecxMvecy=0, AA vecx in V} <=> vecxMveca=0 <=> Mveca=vec0$

[matos1]

In attesa di qualcuno interessato al quesito provo a rispondermi:

Forse la risposta risiede nel fatto che $x⃗_c *(My⃗ _c)= x⃗_c⋅k⃗_c$ ci sta dicendo che $k_c=My_c$ + a tutti gli effetti un vettore ortogonale a ogni vettore $x$ di $R^n$, con il prodotto standard di Rn riga per colonna. E l'unico vettore in Rn con tale proprietà è proprio il vettore nullo => $Mvecy_c=vec0_c$.

Potrebbe esser corretto? Che ne dite?

[Noodles1]

Solo per fare l'esempio più semplice, determinare:

$[[x_1],[x_2]] in RR^2$

tale che:

$AA [[y_1],[y_2]] in RR^2$

si abbia:

$[[y_1,y_2]]*[[a_(11),a_(12)],[a_(21),a_(22)]]*[[x_1],[x_2]]=0$

implica richiedere che l'equazione sottostante:

$(a_(11)*x_1+a_(12)*x_2)*y_1+(a_(21)*x_1+a_(22)*x_2)*y_2=0$

sia soddisfatta:

$AA [[y_1],[y_2]] in RR^2$

cioè:

$\{(a_(11)*x_1+a_(12)*x_2=0),(a_(21)*x_1+a_(22)*x_2=0):} rarr [[a_(11),a_(12)],[a_(21),a_(22)]]*[[x_1],[x_2]]=0$

Inutile ribadire, come hai già sottolineato, che l'implicazione inversa è praticamente immediata:

$[[a_(11),a_(12)],[a_(21),a_(22)]]*[[x_1],[x_2]]=0 rarr [[y_1,y_2]]*[[a_(11),a_(12)],[a_(21),a_(22)]]*[[x_1],[x_2]]=0$

[matos1]

Garantisco che partorisco solo domande idiote, come premessa...

Ora, potrei chiederti come mostrare:
$(a_(11)*x_1+a_(12)*x_2)*y_1+(a_(21)*x_1+a_(22)*x_2)*y_2=0$, $AA [[y_1],[y_2]] in RR^2$

$<=>$

$\{(a_(11)*x_1+a_(12)*x_2=0),(a_(21)*x_1+a_(22)*x_2=0):} rarr [[a_(11),a_(12)],[a_(21),a_(22)]]*[[x_1],[x_2]]=0$

beh un lato è facile:
<=ovvio,

non capisco però => come dedurlo.

[Noodles1]

In generale, affinchè:

$a_1*y_1+a_2*y_2=0$

per:

$AA [[y_1],[y_2]] in RR^2$

l'unico modo è che sia:

$0*y_1+0*y_2=0$

[matos1]

Sì quella imposizione mi è chiara in realtà. Piuttosto volevo capire come dimostrare che se hp: a1⋅y1+a2⋅y2=0 per ogni (y1,y2) in $R^2$ =(allora deve essere)=> 0⋅y1+0⋅y2=0.

[Noodles1]

Se ho capito bene, vuoi dimostrare formalmente l'implicazione sottostante:

Ipotesi

$AA (y_1,y_2) in RR^2$

$a_1*y_1+a_2*y_2=0$

Tesi

$\{(a_1=0),(a_2=0):}$

Puoi ragionare per assurdo:

$[a_1 ne 0] ^^ [a_1*y_1+a_2*y_2=0] rarr [y_1=-a_2/a_1y_2] rarr oo^1$ soluzioni

Vero è che, a mio parere, avresti dovuto concludere da solo.

[matos1]

Ti do anche ragione, ma il problema è che non ci ero arrivato su come dimostrarlo .
O meglio ero arrivato a $oo^1$ e mi ero arenato dicendo stupidamente: sono infinite quindi non funziona. Ma il punto è che ho in effetto un vincolo tra y1 e y2 quando scrivo $y_1=−a_2/a_1y^2$, non mi quindi ero accorto che non sarebbe funzionata come domostrazione se fosse uscito $oo^2$, infatti dire $[y_1,y_2] in R^2$ equivale dire $oo^2$.
Sperando di non aver detto cavolate.

Grazie mille

[Noodles1]

Non hai detto cavolate. Insomma, direi che ci siamo.

[matos1]

Davvero molto gentile, ti ringrazio per il tuo aiuto prezioso!