Base del nucleo (Jordanizzazione)
Salve.
Ho cercato in lungo ed in largo, purtroppo però il linguaggio corretto della geometria mi rende estremamente ostico capire la soluzione al mio problema, in quanto noi controllisti non usiamo tale linguaggio.
Sto facendo esercizi sul portare matrici in forma di Jordan.
Cosa so:
-data la matrice, ne trovo il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori e le relative molteplicità algebriche
-una volta trovati gli autovalori, devo trovare le dimensioni dei nuclei delle relative matrici che corrispondono alle molteplicità geometriche
-sapendo le molteplicità geometriche cerco le catene di autovettori generalizzate che andranno a formare la matrice che porterà la matrice originale in forma di Jordan
Fin qui se non ho sbagliato (cosa probabile).
Cosa non so:
-trovare le basi dei nuclei
Faccio un esempio.
\( \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{-1} & \mathbf{1}& \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1}& \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1}& \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{-1} & \mathbf{0}& \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{vmatrix} \)
Il cui polinomio risulta
\( \mathbf{P}_a(\lambda) = \lambda (\lambda -1)^4 \)
Ovvero due autovalori
\( \mathbf{\lambda}_1 = 0 \)
\( \mathbf{\lambda}_2 = 1 \)
con il secondo di molteplicità algebrica pari a 4.
Quindi cerco la suddivisione delle molteplicità geometriche.
Vado perciò a vedere quando la successione delle
\( \mathbf{d}_k = dim (N(A-\mathbf{\lambda}_2 I)^k) = dim (N(\mathbf{A}_2^k)) \)
si stabilizza.
Ciò avviene per \( \mathbf(k)=3 \)
Quindi la matrice di Jordan sarà
\( \mathbf{J} = \begin{vmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{vmatrix} \)
A questo punto devo trovare i vettori per la matrice di trasformazione.
Poiché per \( \mathbf{\lambda}_2 \) ho 1 blocco di dimensione 3, devo trovare l'autovettore del nucleo di \( \mathbf{A}^3 \) che non fa parte del nucleo di \( \mathbf{A}^2 \).
Quindi trovo
\( \mathbf{A}^2 = \begin{vmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{1} & \mathbf{-1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\
\mathbf{-1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{vmatrix} \)
Risolvendo il sistema associato trovo le seguenti proprietà:
\( \mathbf{x}_3 + \mathbf{x}_5 = \mathbf{x}_2 \)
\( \mathbf{x}_4 = free \)
\( \mathbf{x}_1 = 0 \)
Qui incontro il mio ostacolo: so che il nucleo ha dimensione \( 5 - 2 = 3 \) ma le proprietà mi dicono chiaramente solo il vettore
\( \begin{vmatrix} \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \mathbf{1} \\ \mathbf{0} \end{vmatrix} \)
e poi una famiglia di vettori che corrisponde a
\( \begin{vmatrix} \mathbf{0} \\ \mathbf{2} \\ \mathbf{1} \\ \mathbf{0} \\ \mathbf{1} \end{vmatrix} \)
Come lo trovo il terzo vettore per costruire la base di \( \mathbf{A}^2 \) ?
E la stessa cosa per
\( \mathbf{A}^3 = \begin{vmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{-1} & \mathbf{0} & \mathbf{-1} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{vmatrix} \)
Il nucleo ha dimensione 4 ma io ho solamente
\( x_1 + x_2 - x_3 - x_5 = 0 \)
Che faccio?
Ho cercato in lungo ed in largo, purtroppo però il linguaggio corretto della geometria mi rende estremamente ostico capire la soluzione al mio problema, in quanto noi controllisti non usiamo tale linguaggio.
Sto facendo esercizi sul portare matrici in forma di Jordan.
Cosa so:
-data la matrice, ne trovo il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori e le relative molteplicità algebriche
-una volta trovati gli autovalori, devo trovare le dimensioni dei nuclei delle relative matrici che corrispondono alle molteplicità geometriche
-sapendo le molteplicità geometriche cerco le catene di autovettori generalizzate che andranno a formare la matrice che porterà la matrice originale in forma di Jordan
Fin qui se non ho sbagliato (cosa probabile).
Cosa non so:
-trovare le basi dei nuclei
Faccio un esempio.
\( \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{-1} & \mathbf{1}& \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1}& \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1}& \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{-1} & \mathbf{0}& \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{vmatrix} \)
Il cui polinomio risulta
\( \mathbf{P}_a(\lambda) = \lambda (\lambda -1)^4 \)
Ovvero due autovalori
\( \mathbf{\lambda}_1 = 0 \)
\( \mathbf{\lambda}_2 = 1 \)
con il secondo di molteplicità algebrica pari a 4.
Quindi cerco la suddivisione delle molteplicità geometriche.
Vado perciò a vedere quando la successione delle
\( \mathbf{d}_k = dim (N(A-\mathbf{\lambda}_2 I)^k) = dim (N(\mathbf{A}_2^k)) \)
si stabilizza.
Ciò avviene per \( \mathbf(k)=3 \)
Quindi la matrice di Jordan sarà
\( \mathbf{J} = \begin{vmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{vmatrix} \)
A questo punto devo trovare i vettori per la matrice di trasformazione.
Poiché per \( \mathbf{\lambda}_2 \) ho 1 blocco di dimensione 3, devo trovare l'autovettore del nucleo di \( \mathbf{A}^3 \) che non fa parte del nucleo di \( \mathbf{A}^2 \).
Quindi trovo
\( \mathbf{A}^2 = \begin{vmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{1} & \mathbf{-1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\
\mathbf{-1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{vmatrix} \)
Risolvendo il sistema associato trovo le seguenti proprietà:
\( \mathbf{x}_3 + \mathbf{x}_5 = \mathbf{x}_2 \)
\( \mathbf{x}_4 = free \)
\( \mathbf{x}_1 = 0 \)
Qui incontro il mio ostacolo: so che il nucleo ha dimensione \( 5 - 2 = 3 \) ma le proprietà mi dicono chiaramente solo il vettore
\( \begin{vmatrix} \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \mathbf{1} \\ \mathbf{0} \end{vmatrix} \)
e poi una famiglia di vettori che corrisponde a
\( \begin{vmatrix} \mathbf{0} \\ \mathbf{2} \\ \mathbf{1} \\ \mathbf{0} \\ \mathbf{1} \end{vmatrix} \)
Come lo trovo il terzo vettore per costruire la base di \( \mathbf{A}^2 \) ?
E la stessa cosa per
\( \mathbf{A}^3 = \begin{vmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{-1} & \mathbf{0} & \mathbf{-1} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{vmatrix} \)
Il nucleo ha dimensione 4 ma io ho solamente
\( x_1 + x_2 - x_3 - x_5 = 0 \)
Che faccio?
Risposte
Sono solo al primo anno di università, ma spero di poter esserti utile lo stesso. Un sottospazio vettoriale in genere è descritto da equazioni, e sono proprio loro che ti aiutano a determinare dimensioni e basi del sottospazio. Ti faccio un esempio.
Sia $ V $ un sottospazio vettoriale di $ RR^3 $ , $ V={ (x,y,z) in RR^3 | x-y-z=0 } $ . Il sottospazio è quindi descritto da un'equazione. Come fai a determinarne una base? Semplice: $ x-y-z=0 hArr x=y+z $ . Andiamo a sostituire questo valore di x nella descrizione del sottospazio. $ V $ è quindi l'insieme di tutti quei vettori che hanno come prima coordinata la somma delle altre due, cioè $ V={ (y+z,y,z)|y,z in RR }={ y(1,1,0)+z(1,0,1) } = <(1,1,0),(1,0,1)>$ . V ha dimensione 2 perchè è generato da due vettori linearmente indipendenti, che sono quindi una base di V. Puoi applicare questo metodo (in sostanza si tratta di risolvere le equazioni che hai e poi "scomporre" il vettore) anche ai sottospazi che cerchi tu.
Sia $ V $ un sottospazio vettoriale di $ RR^3 $ , $ V={ (x,y,z) in RR^3 | x-y-z=0 } $ . Il sottospazio è quindi descritto da un'equazione. Come fai a determinarne una base? Semplice: $ x-y-z=0 hArr x=y+z $ . Andiamo a sostituire questo valore di x nella descrizione del sottospazio. $ V $ è quindi l'insieme di tutti quei vettori che hanno come prima coordinata la somma delle altre due, cioè $ V={ (y+z,y,z)|y,z in RR }={ y(1,1,0)+z(1,0,1) } = <(1,1,0),(1,0,1)>$ . V ha dimensione 2 perchè è generato da due vettori linearmente indipendenti, che sono quindi una base di V. Puoi applicare questo metodo (in sostanza si tratta di risolvere le equazioni che hai e poi "scomporre" il vettore) anche ai sottospazi che cerchi tu.
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