Base del nucleo e dell'immagine

[asder83]

Calcolare una base del nucleo e dell'immagine:
$f:R2[x]->R^2:f(ax^2+bx+c) = (a-c,b-2a)$

ho provato a svolgerlo così:
$ ( ( 1 , 0 , -1 ),( -2 , 1 , 0 ) ) -> ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , -2 ) ) $

quindi ho preso le colonne dove ci sono i pivot per determinare una base dell'immagine $-> {(1,-2),(0,1)}$
e mi trovo che $dim(ker(f))=0$ quindi non ha senso cercare una base.

E' corretto? dove ho sbagliato?

[Gi81]

"chry11":Calcolare una base del nucleo e dell'immagine:
$f: RR_2 [x]->RR^2$
$f(ax^2+bx+c) := (a-c,b-2a)$

Si vede subito che questa è una applicazione suriettiva:
Infatti $f(0 *x^2 +0 *x -1)= (1,0)$ e $f(0* x^2+1*x+0)=(0,1)$

Inoltre $(a-c,b-2a)= (0,0) => {(a-c=0),(b-2a=0):}=> {(c=a),(b=2a):}$
Dunque $x^2+2x+1 in \text{Ker}(f)$

[asder83]

la base dell'immagine che ho trovato è: ${(1,-2),(0,1)}$
$dim(R2[x])=dim(ker(f))+dim(im(f))$
$2=0+2$
mi trovo che il nucleo ha dimensione $=0$

[Gi81]

Erroraccio: non è vero che $dim(RR_2[x])=2$.
Piuttosto $dim(RR_2[x])=3$

[asder83]

come si calcola $R2[x] $?

[asder83]

${1,x,x^2}$

[EveyH]

"Gi8":
Si vede subito che questa è una applicazione suriettiva:
Infatti $f(0 *x^2 +0 *x -1)= (1,0)$ e $f(0* x^2+1*x+0)=(0,1)$

Non ho capito cosa hai fatto qui sopra...
Grazie

[asder83]

si è complicato la vita
basta prendere la matrice ridotta a gradini e risolvere il seguente sistema
${ ( x=z),( y=2z ):}$
$z$ variabile libera
$z(1,2,1)$
Base $ker(f)={(1,2,1)}$

[Gi81]

"EveyH":[quote="Gi8"]
Si vede subito che questa è una applicazione suriettiva:
Infatti $f(0 *x^2 +0 *x -1)= (1,0)$ e $f(0* x^2+1*x+0)=(0,1)$

Non ho capito cosa hai fatto qui sopra...
Grazie [/quote]Ho dimostrato che $(1,0), (0,1) in \text{Im}(f)$. Questo implica la suriettività

[Gi81]

"chry11":come si calcola $R2[x] $?

In che senso?
In generale, per ogni $n in NN$, si definisce
lo spazio dei polinomi di grado al massimo $n$ a coefficienti reali nel seguente modo:
$RR_n [x]:= {a_0+a_1 x +...+a_n x^n | a_0,a_1,...,a_n in RR}$
E' immediato notare che $\text{dim}(RR_n [x])= n+1$,
dal momento che ${1,x,...,x^n}$ è una sua base.