Base del nucleo e base dell'immagine applicazione lineare
Ciao a tutti, durante la preparazione del mio esame di Matematica Discreta, mi sono imbattuto in un paio di esercizi sulle applicazioni lineari, presentati in questa forma:
Sia $ QQ [x]\leq n $ lo spazio vettoriale dei polinomi con coefficienti razionali di grado minore o uguale a n e sia
T : $ QQ [x]\leq 2 $ -> $ QQ[x]\leq 3 $ l'applicazione de finita da
$T(ax2 + bx + c) = (a - b) (x)^(3) + (2a + c)x - a + 3b + c$
1) Dimostrare che l'applicazione T è lineare.
2) Determinare una base del nucleo e una base dell'immagine di T.
3) Defi nire un'applicazione lineare $L : Q[x]\leq 2 -> Q[x]\leq 3$ tale che si abbia
$Q[x]\leq 3 = Im(T) \oplus Im(L)$
Per il punto 1 non ho problemi, si tratta di una semplice dimostrazione. I guai arrivano negli altri 2 punti; per quanto riguarda il 2, ho sempre risolto esercizi del genere, ma, di norma, era sempre presente un ulteriore "dato", ovvero la base di partenza e la base di arrivo. Così invece non so proprio come procedere, ho cercato molto in rete, sui libri di testo e sulle dispense del prof, ma non ho trovato nulla che faccia al mio caso, poichè in praticamente tutti gli esercizi sono presenti le due basi che qui non ci sono! Chiedo aiuto a voi, sperando che mi possiate dare se non altro un incipit per cominciare a svolgere questa parte di esercizio. Stessa cosa vale per il 3 punto, non so proprio da dove cominciare... Mi affido a voi!
Grazie! 
Sia $ QQ [x]\leq n $ lo spazio vettoriale dei polinomi con coefficienti razionali di grado minore o uguale a n e sia
T : $ QQ [x]\leq 2 $ -> $ QQ[x]\leq 3 $ l'applicazione de finita da
$T(ax2 + bx + c) = (a - b) (x)^(3) + (2a + c)x - a + 3b + c$
1) Dimostrare che l'applicazione T è lineare.
2) Determinare una base del nucleo e una base dell'immagine di T.
3) Defi nire un'applicazione lineare $L : Q[x]\leq 2 -> Q[x]\leq 3$ tale che si abbia
$Q[x]\leq 3 = Im(T) \oplus Im(L)$
Per il punto 1 non ho problemi, si tratta di una semplice dimostrazione. I guai arrivano negli altri 2 punti; per quanto riguarda il 2, ho sempre risolto esercizi del genere, ma, di norma, era sempre presente un ulteriore "dato", ovvero la base di partenza e la base di arrivo. Così invece non so proprio come procedere, ho cercato molto in rete, sui libri di testo e sulle dispense del prof, ma non ho trovato nulla che faccia al mio caso, poichè in praticamente tutti gli esercizi sono presenti le due basi che qui non ci sono! Chiedo aiuto a voi, sperando che mi possiate dare se non altro un incipit per cominciare a svolgere questa parte di esercizio. Stessa cosa vale per il 3 punto, non so proprio da dove cominciare... Mi affido a voi!
Grazie!
Risposte
Io credo che ti basti la base canonica. Quando conosci il comportamento di un'applicazione lineare su una base, sei a posto.
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