Base del nucleo di f
io ho il seguente endomorfismo di $R^3$ definito così $f((x,y,z))=(x-y,x-y+2z,-z)$ mi si chiede di trovare la matrice A che rappresenta f rispetto alla base canonica. dai miei calcoli risulta A=$[[1,-1,0],[1,-1,2],[0,0,-1]]$ ed è giusta (fidatevi). Nel punto dopo mi si chiede di trovare una base di $Ker f$ però io so che il nucleo è la soluzione del sistema $AX=0$ quindi devo prendere la matrice A trovata prima e moltiplicarla per la matrice colonna delle incognite x,y,z e risolvere?
Risposte
ciao, ma sei sicurao che la matrice di f è così? non dovrebbe essere
1 -1 0 prima riga
1-1 2 seconda riga
0 0 -1 terza riga non so se mi sbaglio però
1 -1 0 prima riga
1-1 2 seconda riga
0 0 -1 terza riga non so se mi sbaglio però
no no è come dico io fidati la base canonica è $C={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ trovi $v1$ $v2$ e $v3$ cioè $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ trovi le $f(v1)$ $f(v2)$ e $f(v3)$ e poi le coordinate (che sono dei vettori) e li metti per colonne....
P.S. scusa avevo scambiato le righe con le colonne intanto che creavo via codice la matrice da mettere qua
P.P.S sai rispondere alla mia domanda?
P.S. scusa avevo scambiato le righe con le colonne intanto che creavo via codice la matrice da mettere qua
P.P.S sai rispondere alla mia domanda?
ok cmq con la matrice che hai trovato ti risolvi il sisitema $x+y=0$ $x-y=0$ $2y-z=0$ a me viene $Ker=0$ banale
"silstar":
ok cmq con la matrice che hai trovato ti risolvi il sisitema $x+y=0$ $x-y=0$ $2y-z=0$ a me viene $Ker=0$ banale
ok grazie mille allora era come pensavo
mentre per trovare la dimensione dell' $Im f$ devo trovare il rango di quella matrice A
"zavo91":
[quote="silstar"]ok cmq con la matrice che hai trovato ti risolvi il sisitema $x+y=0$ $x-y=0$ $2y-z=0$ a me viene $Ker=0$ banale
ok grazie mille allora era come pensavo
mentre per trovare la dimensione dell' $Im f$ devo trovare il rango di quella matrice A[/quote]Scusate, ma la matrice $A$ ha due colonne dipendenti, come
si vede immediatamente perchè sono uguali a meno del segno!
Perciò il nucleo dell'applicazione NON è il solo vettore nullo, ma
è un sottospazio di dimensione (ordine di $A$)$-$(rango di $A$)$=1$.
Allora, vediamo passo per passo come fare;
Dato l'endomorfismo di $R^3$, definito come $f(x y z) = (x-y,x-y+2z, -z)$, è possibile trovare la matrice che rappresenti $f$ rispetto alla base canonica. Considerati i vettori che compongono la base canonica, quale $C = { (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) }$, calcoliamo $f(v1)$, $f(v2)$,$f(v3)$. Una volta trovati, li inseriamo come colonne nella matrice che rappresenta A rispetto a tale base canonica, ottenendo $A= ((1,-1,0),(1,-1,2),(0,0,-1))$.
Il primo punto è andato, risolto alla perfezione anche dagli altri utenti, il secondo chiede di calcolare una base per il $Ker f$, ottenibile come soluzione del sistema $AX=0$. Prima di addentrarci nel calcolo del nucleo, ragioniamo sulla dimensione del nucleo stesso; sappiamo che $dim(V)=dim(Imf)+dim(Ker f)$, in questo caso possiamo dire $3= r(A) + dim(Ker f)$ $\Rightarrow$ $3-r(A)= dim(Ker f)$.
Con $r(A)$ intendiamo il rango della matrice $A$, quindi essendo il massimo ordine dei minori non nulli, prima di tutto dobbiamo verificare se la matrice è singolare, il $det(A)=0$, verificabile dal fatto che la seconda colonna non è altro che la prima cambiata di segno; nel caso in cui questo sfuggisse, con semplici calcoli è possibile ottenere il medesimo risultato. Il rango della matrice è quindi 2.
Ottenuto il Rango,$3-2=1 \Rightarrow dim(Ker f)=1$, per ottenere la base del nucleo, risolviamo il sistema $AX=0$.
${(x_1-x_2=0),(x_1-x_2+2x_3),(-x_3=0):}$$\Rightarrow$${(x_1=x_2),(x_3=0):}$, pertanto, come si vede dalla risoluzione del sistema, la base del nucleo dipende solamente da un parametro e quindi ha dimensione 1. Considerando, $X_2=0$, otteniamo $[1,1,0]$
Dato l'endomorfismo di $R^3$, definito come $f(x y z) = (x-y,x-y+2z, -z)$, è possibile trovare la matrice che rappresenti $f$ rispetto alla base canonica. Considerati i vettori che compongono la base canonica, quale $C = { (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) }$, calcoliamo $f(v1)$, $f(v2)$,$f(v3)$. Una volta trovati, li inseriamo come colonne nella matrice che rappresenta A rispetto a tale base canonica, ottenendo $A= ((1,-1,0),(1,-1,2),(0,0,-1))$.
Il primo punto è andato, risolto alla perfezione anche dagli altri utenti, il secondo chiede di calcolare una base per il $Ker f$, ottenibile come soluzione del sistema $AX=0$. Prima di addentrarci nel calcolo del nucleo, ragioniamo sulla dimensione del nucleo stesso; sappiamo che $dim(V)=dim(Imf)+dim(Ker f)$, in questo caso possiamo dire $3= r(A) + dim(Ker f)$ $\Rightarrow$ $3-r(A)= dim(Ker f)$.
Con $r(A)$ intendiamo il rango della matrice $A$, quindi essendo il massimo ordine dei minori non nulli, prima di tutto dobbiamo verificare se la matrice è singolare, il $det(A)=0$, verificabile dal fatto che la seconda colonna non è altro che la prima cambiata di segno; nel caso in cui questo sfuggisse, con semplici calcoli è possibile ottenere il medesimo risultato. Il rango della matrice è quindi 2.
Ottenuto il Rango,$3-2=1 \Rightarrow dim(Ker f)=1$, per ottenere la base del nucleo, risolviamo il sistema $AX=0$.
${(x_1-x_2=0),(x_1-x_2+2x_3),(-x_3=0):}$$\Rightarrow$${(x_1=x_2),(x_3=0):}$, pertanto, come si vede dalla risoluzione del sistema, la base del nucleo dipende solamente da un parametro e quindi ha dimensione 1. Considerando, $X_2=0$, otteniamo $[1,1,0]$
Scusa eh, ma come ha giustamente sottolineato orazioster la matrice A ha rango 2.
Quindi ker f ha per forza di cose dimensione 1.
Risolvendo il sistema, ora l'ho provato a fare così a mente, mi viene ker f = Span{(1,1,0)}.
Quindi ker f ha per forza di cose dimensione 1.
Risolvendo il sistema, ora l'ho provato a fare così a mente, mi viene ker f = Span{(1,1,0)}.
Hai perfettamente ragione, nonostante abbia detto che il $det(A)=0$, ho ugualmente scritto che il $R(A)=3$ quando è naturalmente $R(A)=2$, ho provveduto alla correzione dell'osservazione 
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