Base del nucleo dell'applicazione lineare associata ad una matrice
Ciao a tutti, ho appena cominciato a risolvere esercizi di questa tipologia, e vorrei proporvi qualcuno che ho tentato di risolvere, per capire se sto andando nella giusta direzione.
Riporto il testo:
" Per ciascuna delle seguenti matrici $ nxx m $ $A$ trova il nucleo dell'applicazione lineare associata $ f_A:mathbb(K)^(m)rarr mathbb(K)^(n) $ (scrivendone una base), dove $mathbb(K)$ è il campo indicato.
1) $ ( ( 1 , 2 , 4 ),( 0 , 3 , 3 ),( -2 , 1 , -3 ) ) , mathbb(R) $ .
2) $ ( ( 0 , 2 , 4 , -2 ),( -1 , 1 , 2 , -4 ),( 0 , -1 , -2 , 1 ),( 2 , 3 , 6 , 3 ) ) , mathbb(R) $."
Per quando riguarda la prima matrice:
imposto l'uguaglianza
$ ( ( 1 , 2 , 4 ),( 0 , 3 , 3 ),( -2 , 1 , -3 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
che equivale al sistema S
$ S={ ( x+2y+4z=0 ),( 3y+3z=0 ),( -2x+y-3z=0 ):} $
La matrice ad esso associata ha determinante nullo e rango pari a 2, per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette $ oo ^(3-2)=oo ^1 $ soluzioni. Posso quindi affermare che la dimensione del sottospazio delle soluzioni, e quindi la dimensione del nucleo, è 1
$ dim(Ker(f_A))=1 $ .
Per trovare una base assegno ad un'incognita il ruolo di parametro libero, ponendo $ y=alpha $ con $ alpha in mathbb(R) $ :
$ { ( y=alpha ),( x+2y+4z=0),( 3y+3z=0 ),( -2x+y-3z=0 ):} $ da cui: $ { ( y=alpha ),( x=2alpha ),( z=-alpha ):} $
Le soluzioni del sistema sono: $ (x,y,z)=(2alpha,alpha,-alpha)=alpha(2,1,-1) $ con $ alpha in mathbb(R) $,
per cui una base di $ Ker(f_A)={( ( 2 ),( 1 ),( -1 ) )} $ .
La prima parte l'ho risolta correttamente?
Bene ora arriviamo alla seconda matrice (il mio ragionamento è analogo al precedente):
imposto l'uguaglianza:
$ ( ( 0 , 2 , 4 , -2 ),( -1 , 1 , 2 , -4 ),( 0 , -1 , -2 , 1 ),( 2 , 3 , 6 , 3 ) ) ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
che equivale al sistema
$ S={ ( 2y+4z-2t=0 ),( -x+y+2z-4t=0 ),( -y-2z+t=0 ),(2x+3y+6z+3t=0 ):} $
La matrice ad esso associata ha determinante nullo e rango pari a 2 per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette $ oo ^(4-2)=oo ^2 $ soluzioni. Posso quindi affermare che la dimensione del sottospazio delle soluzioni, e quindi la dimensione del nucleo, è 2
$ dim(Ker(f_A))=2 $ .
Per trovare una base assegno a due incognite il ruolo di parametro libero, scelgo le due incognite $z$ e $t$ che corrispondono alle colonne di $ A $ non presenti nella sottomatrice $ A' $ (associata al minore di ordine 2 non nullo $ A'=( ( 0 , 2 ),( -1 , 1 ) ) $ )
Riscrivo quindi il sistema eliminando la terza e la quarta equazione che corrispondono alle righe non presenti in $ A' $:
$ { ( 2y+4z-2t=0 ),( -x+y+2z-4t=0 ),( z=alpha ),( t=beta ):} $ con $ alpha, beta in mathbb(R) $, da cui $ { ( x=-3beta ),( y=beta-2alpha ),( z=alpha ),( t=beta ):} $ con $ alpha, beta in mathbb(R) $
Le soluzioni sono $(x,y,z,t)=alpha(0,-2,1,0)$ e $beta(-3,1,0,1)$ con $ alpha, beta in mathbb(R) $,
per cui una base di $ Ker(f_A)={( ( 0 ),( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) ( ( -3 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) }$
La seconda parte presenta errori?
Grazie mille a tutti dell'attenzione
Riporto il testo:
" Per ciascuna delle seguenti matrici $ nxx m $ $A$ trova il nucleo dell'applicazione lineare associata $ f_A:mathbb(K)^(m)rarr mathbb(K)^(n) $ (scrivendone una base), dove $mathbb(K)$ è il campo indicato.
1) $ ( ( 1 , 2 , 4 ),( 0 , 3 , 3 ),( -2 , 1 , -3 ) ) , mathbb(R) $ .
2) $ ( ( 0 , 2 , 4 , -2 ),( -1 , 1 , 2 , -4 ),( 0 , -1 , -2 , 1 ),( 2 , 3 , 6 , 3 ) ) , mathbb(R) $."
Per quando riguarda la prima matrice:
imposto l'uguaglianza
$ ( ( 1 , 2 , 4 ),( 0 , 3 , 3 ),( -2 , 1 , -3 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
che equivale al sistema S
$ S={ ( x+2y+4z=0 ),( 3y+3z=0 ),( -2x+y-3z=0 ):} $
La matrice ad esso associata ha determinante nullo e rango pari a 2, per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette $ oo ^(3-2)=oo ^1 $ soluzioni. Posso quindi affermare che la dimensione del sottospazio delle soluzioni, e quindi la dimensione del nucleo, è 1
$ dim(Ker(f_A))=1 $ .
Per trovare una base assegno ad un'incognita il ruolo di parametro libero, ponendo $ y=alpha $ con $ alpha in mathbb(R) $ :
$ { ( y=alpha ),( x+2y+4z=0),( 3y+3z=0 ),( -2x+y-3z=0 ):} $ da cui: $ { ( y=alpha ),( x=2alpha ),( z=-alpha ):} $
Le soluzioni del sistema sono: $ (x,y,z)=(2alpha,alpha,-alpha)=alpha(2,1,-1) $ con $ alpha in mathbb(R) $,
per cui una base di $ Ker(f_A)={( ( 2 ),( 1 ),( -1 ) )} $ .
La prima parte l'ho risolta correttamente?
Bene ora arriviamo alla seconda matrice (il mio ragionamento è analogo al precedente):
imposto l'uguaglianza:
$ ( ( 0 , 2 , 4 , -2 ),( -1 , 1 , 2 , -4 ),( 0 , -1 , -2 , 1 ),( 2 , 3 , 6 , 3 ) ) ( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
che equivale al sistema
$ S={ ( 2y+4z-2t=0 ),( -x+y+2z-4t=0 ),( -y-2z+t=0 ),(2x+3y+6z+3t=0 ):} $
La matrice ad esso associata ha determinante nullo e rango pari a 2 per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette $ oo ^(4-2)=oo ^2 $ soluzioni. Posso quindi affermare che la dimensione del sottospazio delle soluzioni, e quindi la dimensione del nucleo, è 2
$ dim(Ker(f_A))=2 $ .
Per trovare una base assegno a due incognite il ruolo di parametro libero, scelgo le due incognite $z$ e $t$ che corrispondono alle colonne di $ A $ non presenti nella sottomatrice $ A' $ (associata al minore di ordine 2 non nullo $ A'=( ( 0 , 2 ),( -1 , 1 ) ) $ )
Riscrivo quindi il sistema eliminando la terza e la quarta equazione che corrispondono alle righe non presenti in $ A' $:
$ { ( 2y+4z-2t=0 ),( -x+y+2z-4t=0 ),( z=alpha ),( t=beta ):} $ con $ alpha, beta in mathbb(R) $, da cui $ { ( x=-3beta ),( y=beta-2alpha ),( z=alpha ),( t=beta ):} $ con $ alpha, beta in mathbb(R) $
Le soluzioni sono $(x,y,z,t)=alpha(0,-2,1,0)$ e $beta(-3,1,0,1)$ con $ alpha, beta in mathbb(R) $,
per cui una base di $ Ker(f_A)={( ( 0 ),( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) ( ( -3 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) }$
La seconda parte presenta errori?
Grazie mille a tutti dell'attenzione
Risposte
I conti e le analisi sono corrette, però non vedo perchè tu scriva i sistemi...usa Gauss direttamente.
Wow, grazie per la tua risposta, li ho svolti così perchè ho seguito gli esempi del mio prof. Con Gauss sarebbe stato più celere lo svolgimento?
Da una verifica sommaria, $AX=0$ con $X\in Ker(f_A)$, sembra che sia ok!
P.S. sono strato preceduto, ops!
P.P.S.
Volevo farlo presente pure io, però non è scontato che sia presente nel programma del corso.
P.S. sono strato preceduto, ops!
P.P.S.
"Bokonon":
[...] però non vedo perchè tu scriva i sistemi...usa Gauss direttamente.
Volevo farlo presente pure io, però non è scontato che sia presente nel programma del corso.
"Anto007":
Con Gauss sarebbe stato più celere lo svolgimento?
Assai più veloce
ok, sto tentando di svolgerne un altro, ci proverò con Gauss!! Grazie della dritta
Prego ma nel dubbio ascolta il consiglio di Magma...moltiplica la matrice per i vettori della base ottenuta.
Se non vengono vettori nulli, allora qualcosa è sbagliato
Se non vengono vettori nulli, allora qualcosa è sbagliato
"Magma":
Volevo farlo presente pure io, però non è scontato che sia presente nel programma del corso.
Non l'ho usato perchè il mio prof non l'ha fatto, non ancora almeno. Cmq ci proverò
Grazie anche a te della risposta
"Bokonon":
Prego ma nel dubbio ascolta il consiglio di Magma...moltiplica la matrice per i vettori della base ottenuta.
Se non vengono vettori nulli, allora qualcosa è sbagliato
ok
vi farò sapere
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