Base del nucleo
Avrei un dubbio riguardo al nucleo di un' applicazione lineare, in particolare riguardo al suo calcolo. Se ho letto il mio testo di riferimento correttamente, data f applicazione da V a W, K-SV di basi B e C rispettivamente e data la matrice associata A, si procede risolvendo il sistema AX=0 trovando una base per lo spazio delle soluzioni S. Allora il nucleo è uguale allo spazio generato dai vettori della base di S, espressi in base B. Per questo se B è la base canonica, S=ker f. E' corretto?
Risposte
Se intendevi dire:
Il ker di f è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare che hai scritto
è corretto.
Il ker di f è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare che hai scritto
è corretto.
Ma il ker di f non è uguale allo spazio delle soluzioni del sistema solo se la base di V è la base canonica?
Uhm, vediamo se postando un esercizio e il modo in cui lo risolverei mi si schiariscono le idee:
Sia $$ data da $f((x,y,x)_B)=(x+y-z, x-y+z, 2x)_C$ dove $B=((1,0,0), (0,1,1), (1,0,1))$ e $C$ è la base canonica. Si determini $ker(f)$.
La matrice associata è $A=((1,1,-1),(1,-1,1),(2,0,0))$ che ridotta per righe diventa $A'=((1,1,-1),(2,0,0),(0,0,0))$.
Quindi lo spazio $S$ delle soluzioni del sistema è dato da $S={(0,a,a): ainRR}=£((0,1,1))$. Quindi $ker(f)=£((0,1,1)_B)$.
Poichè $(0,1,1)_B)=(0,1,1)+(1,0,1)=(1,1,2)$, dunque $ker(f)=£((1,1,2))!=£((0,1,1))=S$.
Forse ora capirete il mio disappunto..
Sia $$ data da $f((x,y,x)_B)=(x+y-z, x-y+z, 2x)_C$ dove $B=((1,0,0), (0,1,1), (1,0,1))$ e $C$ è la base canonica. Si determini $ker(f)$.
La matrice associata è $A=((1,1,-1),(1,-1,1),(2,0,0))$ che ridotta per righe diventa $A'=((1,1,-1),(2,0,0),(0,0,0))$.
Quindi lo spazio $S$ delle soluzioni del sistema è dato da $S={(0,a,a): ainRR}=£((0,1,1))$. Quindi $ker(f)=£((0,1,1)_B)$.
Poichè $(0,1,1)_B)=(0,1,1)+(1,0,1)=(1,1,2)$, dunque $ker(f)=£((1,1,2))!=£((0,1,1))=S$.
Forse ora capirete il mio disappunto..
Scusami, in realtà i generatori delle base $B$ sono in riga anzichè in colonna..in realtà non volevo scriverli in una matrice (sono ancora poco pratico con certe formule del forum) e ora che me lo fai notare, ho pure sbagliato una cifra. In realtà $B={(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)}$
"Sergio":
Questi elementi del dominio sono multipli del secondo elemento della base B, cioè sono multipli di (0,1,1).
Come prima, prendo il vettore (0,4,4), lo do in pasto a F e ottengo (0,0,0).
Non conoscevo questo sistema di verifica, utile
.Il procedimento mi è chiaro, al contrario di questo, in considerazione di quanto mi è stato detto prima
"Benny":
$ker(f)=£((1,1,2))!=£((0,1,1))=S$.
Ma forse ora mi torna pure il perchè mi sia stato detto che $ker(f)=S$, con S spazio delle soluzioni del sistema, sempre e comunque. Se $ker(f)$ espresso nella base $B$ allora questo è vero, se lo si vuole scrivere in base canonica non è detto che sia così. Quindi la frase in grassetto nel mio primo post è corretta, no?
Sì, era quello che intendevo e me lo hai confermato. Grazie dell'aiuto. Alla prossima
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