Base del $Ker f$

[BoG3]

Ciao,
vorrei sottoporvi il mio problema:

Data l'applicazione: (riassunta nella matrice)

$A:=\((5,5,-4,-6),(5,4,-3,-6),(10,-9,-7,-12),(0,1,-1,0))$ Ad occhio vedo che la $4°$ riga è la differenza tra $1°$ e $2°$ ma la porto a scala ugualmente per evitare dimenticanze.

$2° = 1°-2°$
$3°= 2*1°-3°$

$A:=\((5,5,-4,-6),(0,1,-1,0),(0,19,-1,0),(0,1,-1,0))$

$4° = 2°$ quindi la cancello,
$3° = 19*2° -3°$

$A:=\((5,5,-4,-6),(0,1,-1,0),(0,0,-18,0),(0,0,0,0))$

Questa applicazione non è suriettiva poicheè ha solo $3$ pivot anzichè $4$ quinid la dimensione della sua immagine è 3, poi non è iniettiva poiche' se lo fosse dovrebbe essere $Ker A = {0}$ ossia, la soluzione banale è anche la soluzione unica al sistema. Nel mio caso, avendo la variabile $w$ libera ($4°$riga) in realta' ho un infinita' di soluzioni (oltre alla soluzione banale) quindi per ottenere dimensione una base del $Ker$ faccio:

$\{(5x+5y-4z-6w=0), (y-z=0), (-18z=0), (w\inRR) :} = \{(x=6/5w), (y=0), (z=0), (w\inRR) :} $ ehm... poi non so andare avanti ...

[angeloferrari]

"BoG":Ciao,
vorrei sottoporvi il mio problema:

Data l'applicazione: (riassunta nella matrice)

$A:=\((5,5,-4,-6),(5,4,-3,-6),(10,-9,-7,-12),(0,1,-1,0))$ Ad occhio vedo che la $4°$ riga è la differenza tra $1°$ e $2°$ ma la porto a scala ugualmente per evitare dimenticanze.

$2° = 1°-2°$
$3°= 2*1°-3°$

$A:=\((5,5,-4,-6),(0,1,-1,0),(0,19,-1,0),(0,1,-1,0))$

$4° = 2°$ quindi la cancello,
$3° = 19*2° -3°$

$A:=\((5,5,-4,-6),(0,1,-1,0),(0,0,-18,0),(0,0,0,0))$

Questa applicazione non è suriettiva poicheè ha solo $3$ pivot anzichè $4$ quinid la dimensione della sua immagine è 3, poi non è iniettiva poiche' se lo fosse dovrebbe essere $Ker A = {0}$ ossia, la soluzione banale è anche la soluzione unica al sistema. Nel mio caso, avendo la variabile $w$ libera ($4°$riga) in realta' ho un infinita' di soluzioni (oltre alla soluzione banale) quindi per ottenere dimensione una base del $Ker$ faccio:

$\{(5x+5y-4z-6w=0), (y-z=0), (-18z=0), (w\inRR) :} = \{(x=6/5w), (y=0), (z=0), (w\inRR) :} $ ehm... poi non so andare avanti ...

hai finito:) il ker è lo $span((5/6),(0),(0),(1))$

[BoG3]

ok ma se volessi trovare una base del $Ker$ ?

[angeloferrari]

quella è una base del $ker$

[BoG3]

in realata' sul libro la soluzione è ${(6,0,0,5), (-1,5,5,0)}$

[angeloferrari]

allora c'è qualche errore nei calcoli, se l'immagine ha dimensione 3 come tu hai detto all'inizio della tua soluzione il nucleo deve avere dimensione 1, se il libro ti dice che il nucleo ha dimensione 2 l'immagine deve avere dimensione 2 pertanto è meglio se riguardi anche l'algoritmo di gauss per vedere se è stato svolto bene

[minomic]

Ciao, ho provato a controllare i calcoli e sono giusti, a parte quel $6/5$ che poi è stato scritto come $5/6$ ma non è quello il problema. La soluzione viene il vettore $((6/5w), (0), (0), (w)) = w((6/5), (0), (0), (1))$ quindi una base del Ker si può scrivere come $((6), (0), (0), (5))$.
L'unica possibilità è che sia sbagliata la matrice data in partenza. Prova a ricontrollare da dove viene! Se mai posta l'esercizio dall'inizio così vediamo tutto.

[BoG3]

vi allego direttamente il testo dell'esercizio!

[minomic]

No, non so proprio cosa dire. Ho ricontrollato i calcoli che abbiamo fatto e non ho trovato errori. Può essere un errore di stampa (ad esempio un segno sbagliato che cambia tutto) ma la cosa che sembra strana è che il primo vettore ci viene come nella soluzione.
In ogni caso vediamo se qualcuno ha qualche idea...