Base data la matrice rappresentativa
Ciao a tutti! Ho dei problemi su questo esercizio:
ho pensato di risolvere così: considero la base B formata da: $B= {v_1, v_2, v_3}={(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)}$ e la base $C={w_1, w_2}={(l,m),(n,o)}$
so poi che $f(v_1)=(a+b, a-b-c); f(v_2)=(d+e, d-e-f); f(v_3)=(g+h, g-h-i)$ ma anche che $f(v_1)=0*(l,m)+1*(n,o); f(v_2)=0*(l,m)+0*(n,o); f(v_3)=1*(l,m)+0*(n,o)$ cioè esprimo le coordinate delle immagini dei vettori di B rispetto a C.
eguagliando i vari pezzi e risolvendo i tre sistemi ottengo delle condizione sulla forma delle basi, in particolare:
$B={(n-b, b, n-o-2b), (-e,e,-2e),(m+i+h,h,i)}$ e $C={(m+i+2h, m), (n,o)}$ con $b,e,h,i,m,n,o in RR$
È corretto? Se così non fosse dove sbaglio e come posso correggere, grazie in anticipo a tutti.
“ si consideri l’applicazione lineare $f : RR^3 → RR^2 $ definita da:
$f((x),(y),(z))=((x+y),(x-y-z))$
Si determinino una base B si $RR^3$ e una base C di $RR^2$ tali che la matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi sia $ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ ”
$f((x),(y),(z))=((x+y),(x-y-z))$
Si determinino una base B si $RR^3$ e una base C di $RR^2$ tali che la matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi sia $ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ ”
ho pensato di risolvere così: considero la base B formata da: $B= {v_1, v_2, v_3}={(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)}$ e la base $C={w_1, w_2}={(l,m),(n,o)}$
so poi che $f(v_1)=(a+b, a-b-c); f(v_2)=(d+e, d-e-f); f(v_3)=(g+h, g-h-i)$ ma anche che $f(v_1)=0*(l,m)+1*(n,o); f(v_2)=0*(l,m)+0*(n,o); f(v_3)=1*(l,m)+0*(n,o)$ cioè esprimo le coordinate delle immagini dei vettori di B rispetto a C.
eguagliando i vari pezzi e risolvendo i tre sistemi ottengo delle condizione sulla forma delle basi, in particolare:
$B={(n-b, b, n-o-2b), (-e,e,-2e),(m+i+h,h,i)}$ e $C={(m+i+2h, m), (n,o)}$ con $b,e,h,i,m,n,o in RR$
È corretto? Se così non fosse dove sbaglio e come posso correggere, grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Dovrebbe funzionare (a patto di scegliere i parametri in modo che quelle che ottieni siano effettivamente delle basi), ma puoi risparmiarti gran parte di quei conti:
Se $B=\{v_1,v_2,v_3\} $ è chiaro che si deve avere $v_2 \in \ker f $, ma quest'ultimo ha dimensione $1$, quindi $\ker f=\langle v_2 \rangle $, e comunque preso un completamento a base con $v_1$ e $v_3$, le immagini di questi ultimi formano una base di $RR^2$, perciò basta porre $C=\{f (v_3),f (v_1)\} $.
Se $B=\{v_1,v_2,v_3\} $ è chiaro che si deve avere $v_2 \in \ker f $, ma quest'ultimo ha dimensione $1$, quindi $\ker f=\langle v_2 \rangle $, e comunque preso un completamento a base con $v_1$ e $v_3$, le immagini di questi ultimi formano una base di $RR^2$, perciò basta porre $C=\{f (v_3),f (v_1)\} $.
anzitutto grazie per la risposta!
ok grazie
e ne sarei anche molto felice. :')
fin qui ci sono
questo passaggio invece non lo capisco. abbiamo il vettore $v_2 in ker f$ al quale aggiungo altri due vettori (quali che siano non importa basta che siano l.i. tra loro e con $v_2$) tramite il completamento a base per avere tre vettori linearmente indipendenti e che generano $RR^3$ così da ottenere B (con $v_i$ generici).
non capisco però perchè necessariamente si ha che le immagini dei vettori che completano a base formino una base dello spazio d'arrivo.
"spugna":
Dovrebbe funzionare (a patto di scegliere i parametri in modo che quelle che ottieni siano effettivamente delle basi)
ok grazie
"spugna":
puoi risparmiarti gran parte di quei conti:
e ne sarei anche molto felice. :')
"spugna":
Se B={v1,v2,v3} è chiaro che si deve avere v2∈kerf, ma quest'ultimo ha dimensione 1, quindi kerf=⟨v2⟩
fin qui ci sono
"spugna":
comunque preso un completamento a base con v1 e v3, le immagini di questi ultimi formano una base di R2, perciò basta porre C={f(v3),f(v1)}.
questo passaggio invece non lo capisco. abbiamo il vettore $v_2 in ker f$ al quale aggiungo altri due vettori (quali che siano non importa basta che siano l.i. tra loro e con $v_2$) tramite il completamento a base per avere tre vettori linearmente indipendenti e che generano $RR^3$ così da ottenere B (con $v_i$ generici).
non capisco però perchè necessariamente si ha che le immagini dei vettori che completano a base formino una base dello spazio d'arrivo.
"cooper":
non capisco però perchè necessariamente si ha che le immagini dei vettori che completano a base formino una base dello spazio d'arrivo.
Perché la restrizione di $f$ al sottospazio $\langle v_1,v_3 \rangle$ è iniettiva (e quindi manda vettori indipendenti in vettori indipendenti): infatti, se un vettore di tale sottospazio viene mandato in $0$, allora deve appartenere anche a $\ker f= \langle v_2 \rangle$, ma $\langle v_1,v_3 \rangle \cap \langle v_2 \rangle=\{0\}$ per costruzione.
ti ringrazio chiarissimo! a breve dovrei postare un esercizio simile. vediamo se ho capito davvero :') grazie ancora!
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