Base da sistema omogeneo
Qualcuno può aiutarmi con questo esercizio, non so andare avanti. L'esercizio è:
"Determinare una base del sottoinsieme \(\displaystyle R^4 \): W={\(\displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4 \))/ \(\displaystyle x_1-x_3=x_1+x_4=0 \)}."
Ho impostato il sistema omogeneo e ho iniziato calcolando il rango della matrice dei coefficienti che risulta essere 2. Poi poichè il rango è minore rispetto al numero delle incognite che è 4 il sistema omogeneo ha 2 autosoluzioni e per trovarle dovrei usare due variabili come parametri ma non so come fare con questo sistema.
"Determinare una base del sottoinsieme \(\displaystyle R^4 \): W={\(\displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4 \))/ \(\displaystyle x_1-x_3=x_1+x_4=0 \)}."
Ho impostato il sistema omogeneo e ho iniziato calcolando il rango della matrice dei coefficienti che risulta essere 2. Poi poichè il rango è minore rispetto al numero delle incognite che è 4 il sistema omogeneo ha 2 autosoluzioni e per trovarle dovrei usare due variabili come parametri ma non so come fare con questo sistema.
Risposte
ciao,
conoscendo la definizione di $W$ possiamo trovarne una base.
Sappiamo che :
$ x_{1}=x_{3} $ e che $ x_{4}= -x_{1} $.
Impostiamo il sistema (che è equivalente alla notazione matriciale): $ { ( x_{1}=x_{3} ),( x_{2}=\xi ),( x_{3}=\phi ),(x_{4} = - x_{3}):} $ , (abbiamo due parametri liberi).
Sostituendo all'indietro otteniamo:
$ { ( x_{1}=\phi ),( x_{2}=\xi ),( x_{3}=\phi ),(x_{4} = - \phi):} $ .
Ora sappiamo che tutti i vettori che appartengono a tale spazio $W$ sono generati da questa base: $ <((1),(0),(1),(-1)), ((0),(1),(0),(0))> $
Seguendo il tuo ragionamento è corretto avere anche in questo caso due parametri liberi:
inaftti per Rouchè-Capelli abbiamo $\infty^{n-rank}$ soluzioni (ossia infinite soluzioni dipendenti da due parametri )
conoscendo la definizione di $W$ possiamo trovarne una base.
Sappiamo che :
$ x_{1}=x_{3} $ e che $ x_{4}= -x_{1} $.
Impostiamo il sistema (che è equivalente alla notazione matriciale): $ { ( x_{1}=x_{3} ),( x_{2}=\xi ),( x_{3}=\phi ),(x_{4} = - x_{3}):} $ , (abbiamo due parametri liberi).
Sostituendo all'indietro otteniamo:
$ { ( x_{1}=\phi ),( x_{2}=\xi ),( x_{3}=\phi ),(x_{4} = - \phi):} $ .
Ora sappiamo che tutti i vettori che appartengono a tale spazio $W$ sono generati da questa base: $ <((1),(0),(1),(-1)), ((0),(1),(0),(0))> $
Seguendo il tuo ragionamento è corretto avere anche in questo caso due parametri liberi:
inaftti per Rouchè-Capelli abbiamo $\infty^{n-rank}$ soluzioni (ossia infinite soluzioni dipendenti da due parametri )
Grazie feddy, il primo vettore ero riuscito a trovarlo per trovare il secondo come fai invece
"juvedelpiero":
per trovare il secondo come fai invece
Basta porre $phi=0, xi=1$
Perché bisogna porli uguale a 0 e 1? Si fa rispetto la base canonica o per quale motivo? Questa cosa non riesco a capirla
L'operazione che ho effettuato è quella che dice @magma 
Vogliamo che i due vettori siano linearmente indipendenti
Vogliamo che i due vettori siano linearmente indipendenti
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