Base applicazione lineare, aiuto

[chicca841]

Caio a tutti,
potreste darmi una mano con questo esercizio con cui sto avendo difficoltà? (probabilmente la soluzione è abbastanza semplice ma al momento sono talmente confusa dallo studio che non riesco proprio a tirarmene fuori)

L'esercizio mi fornisce un'applicazione lineare $T:RR^4toM_{2,2}$ data da:

$T(x,y,z,t) = |(8x,9y),(z,t)|$

e ho un sottospazio vettoriale $U={vinRR^4: tr(T(v))=0}$

Devo trovare una base ortonormale di $U$ ma, non essendomi mai capitato un esercizio in cui l'applicazione lineare fosse data da una matrice, non so proprio come devo muovermi..... Non riesco nemmeno a trovarne una base

La base che trovo è $B={(-9,8,0,0),(0,0,-1,1)}$ ma non riesco a capire se è giusta....perchè i due vettori trovati non rispettano la condizione $tr(T(v))=0$....

C'è qualcuno che potrebbe gentilmente spiegarmi come devo fare?
Grazie

[Riccardo Desimini]

Innanzitutto scrivi la definizione di $ U $ in una maniera agevole dal punto di vista dei calcoli:

$ U = \{ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^4 : 8x+t=0 \} $

Ora?

[chicca841]

così trovo i vettori $v_1=(1,0,0,-8)$, $v_2=(0,1,0,0)$, $v_3=(0,0,1,0)$.... è giusto? E' un altro risultato che avevo già trovato prima ma non mi convinceva....

[Riccardo Desimini]

Sì.

[chicca841]

Grazie.... troppa incertezza da parte mia.... penso sempre che le cose siano più complicate di quello che sono in realtà.