Base a ventaglio
Salve a tutti...mi sapreste spiegare cos'è una base a ventaglio? So che riguarda le matrici triangolari, ma non ho capito granchè...
Grazie
Grazie
Risposte
Si dice base a ventaglio (anche se, da quel che vedo, la letteratura è quasi del tutto priva di questo termine così pittoresco...) associata all'endomorfismo $phi$ una base (cioè un sistema di generatori linearmente indipendenti) che triangolarizza $phi$, vale a dire che, scrivendo la matrice $A$ di $phi$ rispetto alla base a ventaglio, abbiamo:
$A=((a_1,x,x,...,x),(0,a_2,x,...,x),(0,0,a_3,...,x),(.,.,.,.,.),(.,.,.,.,.),(.,.,.,.,.),(0,0,0,...,a_r))$
dove le $x$ indicano uno scalare qualsiasi (se fossero tutte nulle, diremo che $A$ è diagonale) e, chiaramente, ${a_1,a_2,...,a_r}$ è lo spettro di $phi$ (l'insieme degli autovalori).
Intuiamo subito che l'esistenza di una tale base non è assicurata, a priori. Però si può dimostrare che, se il polinomio (caratteristico di $phi$) $det(xI-A)$ ha tutte le radici nel campo sul quale si sta lavorando, allora esiste una base a ventaglio.
Questo risultato ci permette di dire che, ad esempio, per gli endomorfismi di $CC^n$ esiste sempre una base a ventaglio (si osservi che essa non è unica!).
EDIT: sto provando a scrivere correttamente la matrice $A$. Si tratta di una matrice triangolare superiore, con i termini $a_1$,...,$a_r$ sulla diagonale...
$A=((a_1,x,x,...,x),(0,a_2,x,...,x),(0,0,a_3,...,x),(.,.,.,.,.),(.,.,.,.,.),(.,.,.,.,.),(0,0,0,...,a_r))$
dove le $x$ indicano uno scalare qualsiasi (se fossero tutte nulle, diremo che $A$ è diagonale) e, chiaramente, ${a_1,a_2,...,a_r}$ è lo spettro di $phi$ (l'insieme degli autovalori).
Intuiamo subito che l'esistenza di una tale base non è assicurata, a priori. Però si può dimostrare che, se il polinomio (caratteristico di $phi$) $det(xI-A)$ ha tutte le radici nel campo sul quale si sta lavorando, allora esiste una base a ventaglio.
Questo risultato ci permette di dire che, ad esempio, per gli endomorfismi di $CC^n$ esiste sempre una base a ventaglio (si osservi che essa non è unica!).
EDIT: sto provando a scrivere correttamente la matrice $A$. Si tratta di una matrice triangolare superiore, con i termini $a_1$,...,$a_r$ sulla diagonale...
Non avevo mai sentito nè letto " base a ventaglio " 
"Camillo":
Non avevo mai sentito nè letto " base a ventaglio "
...Non ha neanche molto senso, essendo la matrice """a ventaglio""" e non la base!
Si potrebbe usare base "ventaglizzante" come sinonimo di base triangolarizzante, ma non suona bene!
Il mio prof di algebra lineare al primo anno usava quel nome. Se nonr icordo male è una traduzione di un termine straniero (forse inglese) ma non ne sono sicuro. Nessuno di noi l'ha mai usato.
"Camillo":
Non avevo mai sentito nè letto " base a ventaglio "
L'ho studiato per la dimostrazione del teorema di Hamilton-Caley...ora l'ho capito!
La mia prof diceva sia base a ventaglio sia base a bandiera (flag in inglese) per intendere una base triangolarizzante per un endomorfismo.
Inoltre dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e un endomorfismo $f$, l'insieme ${V_1,...,V_n}$ si dice un VENTAGLIO DI SOTTOSPAZI per $f$ se:
1) Per ogni $ i = 1,...,n , V_i$ è un sottospazio di $V$ di dimensione $i$
2) Per ogni $ i = 1,...,n , V_i$ è un sottospazio invariante per $f$
3) $V_1 \subset V_2 \subset ... \subset V_n$
Si può facilmente dimostrare che f è triangolarizzabile se e solo se esiste un ventaglio di sottospazi per f.
Inoltre dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e un endomorfismo $f$, l'insieme ${V_1,...,V_n}$ si dice un VENTAGLIO DI SOTTOSPAZI per $f$ se:
1) Per ogni $ i = 1,...,n , V_i$ è un sottospazio di $V$ di dimensione $i$
2) Per ogni $ i = 1,...,n , V_i$ è un sottospazio invariante per $f$
3) $V_1 \subset V_2 \subset ... \subset V_n$
Si può facilmente dimostrare che f è triangolarizzabile se e solo se esiste un ventaglio di sottospazi per f.
Ah sì ecco da dove veniva...da flag! Che orribili ricordi di quel corso....brrr...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo