Baricentro di un poligono concavo

[pao101]

Buonasera a tutti ,
premesso che le coordinate dei vertici di un poligono concavo possono appartenere a più di un poligono concavo (questo non vale per i poligoni convessi);
potete aiutaremi a capire come si trova il baricentro di un qualunque poligono concavo?

[gugo82]

@dissonance: Non ho fatto conti, ma suppongo che col [tex]$N$[/tex]-simplesso la cosa potrebbe funzionare (così come funziona per i triangoli isosceli).
Hai fatto il contariello?

[cirasa]

"gugo82":Chi si vuol fare i conti? ]

Il baricentro di un pentagono regolare centrato nell'origine dovrebbe essere proprio l'origine.
Dico questo per ragioni di simmetria. Non mi sembra giusto privilegiare una direzione rispetto ad un'altra...
E vabbè lo so che non è una dimostrazione molto precisa però non ho voglia di fare conti.

Il calcolo del baricentro dei vertici del pentagono è meno noioso, in quanto i vertici del pentagono sono [tex]P_0,P_1,P_2,P_3,P_4[/tex] dove
[tex]\displaystyle P_k\left(\cos\left(\frac{2\pi}{5}k\right),\sin\left(\frac{2\pi}{5}k\right)\right)[/tex], con [tex]k=0,1,2,3,4[/tex].
Sommiamo le ascisse. Poniamo [tex]x=\frac{2\pi}{5}[/tex] e calcoliamo (sperando di non sbagliare i conti):
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^4\cos(kx)\stackrel{(*)}{=}\frac{\sin((2\cdot 4+1)x/2)-\sin(x/2)}{2\sin(x/2)}=[/tex]
[tex]\displaystyle\ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sin(9\pi/5)-\sin(\pi/5)}{2\sin(\pi/5)}=\frac{-2\sin(\pi/5)}{2\sin(\pi/5)}=-1[/tex].*

Quindi il baricentro dei vertici ha ascissa [tex]-\frac{1}{5}[/tex] che diverso da [tex]0[/tex].
Segue che il baricentro dei vertici e il baricentro del poligono non coincidono.

La formula [tex](*)[/tex] potete trovarla qui (pag.1).

* Edit: Ho dimenticato di aggiungere un addendo nella somma e quindi i conti (e tutte le affermazioni che seguono) sono errati!

[dissonance]

"gugo82":Hai fatto il contariello?

Contariello fatto. La congettura è vera, se&o: i due baricentri coincidono per l'[tex]n[/tex]-simplesso e quindi anche per tutte le figure ad esso affinemente equivalenti, cioè per tutti gli [tex]n[/tex]-politopi convessi (definizione qui) di [tex]n+1[/tex] vertici indipendenti.

Dimostrazione: per ogni [tex]l>0[/tex] sia [tex]E_n(l)=\{x_1+\ldots+x_n \le l,\ x_j\ge 0\}=\mathrm{conv}\big( (0\ldots 0), (0, l \ldots 0), \ldots (0 \ldots 0, l) \big)[/tex] l'[tex]n[/tex]-simplesso di lato [tex]l[/tex]. Questa figura misura [tex]\dfrac{l^n}{n!}[/tex] (vedi Marcellini-Sbordone Analisi matematica 2 cap. 9 esempio 10).

Affermo che il baricentro [tex]P_\star[/tex] e il baricentro [tex]P_\circ[/tex] di questa figura coincidono.

Intanto è immediato mostrare che [tex]P_\circ \equiv (\dfrac{l}{n+1} \ldots \dfrac{l}{n+1} )[/tex].
Poi procedo per induzione su [tex]n[/tex]: per [tex]n=1[/tex] la congettura è prontamente verificata, quindi suppongo che essa sia vera per [tex]n[/tex] e considero [tex]E_{n+1}(l)=\{x_1+\ldots+x_n+t \le l,\ x_j\ge 0,\ t\ge 0 \}[/tex], che riscrivo come

[tex]E_{n+1}(l)=\{x_1+\ldots+x_n \le l-t,\ x_j\ge 0,\ 0 \le t \le l \}[/tex];

in particolare, per ogni [tex]t[/tex] fissato, la [tex]t[/tex]-sezione [tex]\big( E_{n+1}(l) \big)_t[/tex] è un [tex]n[/tex]-simplesso di lato [tex]l-t[/tex].

La [tex]j[/tex]-esima coordinata di [tex]P_\star[/tex] è

[tex]\displaymath P_{\star, j}= \frac{1}{m(E_{n+1}(l))} \int_{E_{n+1}(l)} x_j\,dx_1\ldots dx_n d_t[/tex];

l'ultimo integrale può essere iterato come

[tex]\displaymath \int_0^l\,dt \int_{\big( E_{n+1}(l) \big)_t}x_j\, dx_1\ldots dx_n[/tex], ovvero, usando l'ipotesi induttiva e l'osservazione sulla [tex]t[/tex]-sezione,

[tex]\displaymath \int_0^l\, dt \frac{l-t}{n+1}\,m(E_n(l-t))=\int_0^l \frac{(l-t)^{n+1}}{(n+1)!}\,dt=\frac{l^{n+2}}{(n+2)!}[/tex].

A conti fatti, [tex]P_{\star, j}=\dfrac{l}{n+2}[/tex] il che dimostra l'affermazione fatta.

[gugo82]

@ cirasa: Non vale se nella somma ti dimentichi [tex]$k=0$[/tex], però...

[cirasa]

E lo sapevo che non devo esagerare con i conti. Sono un incapace
All'inizio stavo facendo la somma dei seni e l'addendo per $k=0$ non dava contributo.
Poi mi sono accorto che mi interesava sommare i coseni, ma mi sono dimenticato di aggiungere il primo addendo.

Prometto che starò più attento le prossime volte (ma l'ho promesso così tante volte che non ci credo nemmeno io )

Grazie per la correzione.