Banalizzazioni del fibrato pull-back
Sia $F: M \rightarrow N$ funzione differenziabile tra varietà differenziali. Sia $\pi : E \rightarrow N$ un fibrato vettoriale su $N$. Costruisco il fibrato vettoriale pullback \(\displaystyle F^*E \) :
Come costruisco le banalizzazioni locali per \(\displaystyle F^*E \)?
\(\displaystyle F^*E = \{(m,e) \in M \times E \; | \; F(m) = \pi (e) \} \)
\(\displaystyle \tilde{\pi}: F^*E \rightarrow M \)
Come costruisco le banalizzazioni locali per \(\displaystyle F^*E \)?
Risposte
I covering sono stabili per cambio di base, se prendi un ricoprimento che banalizza pi il suo pullback è un ricoprimento che banalizza pi tilde (sto scrivendo dal cellulare e lo sto facendo col cervello in vacanza, ma dovrebbe essere vero)
Uni fibrato vettoriale è una mappa \(\pi : E \to B\) tale che esista un covering $\{U_i\}$ di $B$ per cui
\[
\begin{CD}
\pi^\leftarrow(U_i) @>\cong>> U_i \times F \\
@V\pi VV @VVp_{U_i}V\\
U_i @= U_i
\end{CD}
\]
Se ora siamo nelle ipotesi e notazioni del tuo post iniziale, il covering è chiaramente dato da una famiglia di mappe $\{U_i \to B\}_{i\in I}$, e dunque puoi pullare back quelle:
\[
\begin{CD}
U_i\times_N M @>>> U_i \\
@VVV @VV\iota_{U_i}V \\
M @>>F> N
\end{CD}
\]
Ora si tratta di dimostrare che effettivamente $V_i \to M$ è una trivializzazione di $F^* E \to M$. E' un po' difficile disegnare il diagramma giusto con amscd, ma si tratta di usare la proprietà universale dei pullback, unitamente al lemma di incollamento.
\[
\begin{CD}
\pi^\leftarrow(U_i) @>\cong>> U_i \times F \\
@V\pi VV @VVp_{U_i}V\\
U_i @= U_i
\end{CD}
\]
Se ora siamo nelle ipotesi e notazioni del tuo post iniziale, il covering è chiaramente dato da una famiglia di mappe $\{U_i \to B\}_{i\in I}$, e dunque puoi pullare back quelle:
\[
\begin{CD}
U_i\times_N M @>>> U_i \\
@VVV @VV\iota_{U_i}V \\
M @>>F> N
\end{CD}
\]
Ora si tratta di dimostrare che effettivamente $V_i \to M$ è una trivializzazione di $F^* E \to M$. E' un po' difficile disegnare il diagramma giusto con amscd, ma si tratta di usare la proprietà universale dei pullback, unitamente al lemma di incollamento.
Grazie della risposta.
Direi che ti stai rifacendo al pullback in teoria delle categorie, che non conosco.
Da quel che ho capito, assumendo che i due blocchi che mi hai dato siano Pullback, devo ottenere da essi un terzo diagramma:
\(\displaystyle \begin{CD}
\tilde{\pi}^{-1}(V_j) @>\sim>> V_j \times \Bbb R^r\\
@VVV @VVV\\
V_j @>>> V_j
\end{CD} \)
In modo che sia il diagramma di sinistra citato nel lemma dell'incollamento. In tal modo sarà anch'esso un pb e...? avrò il diffeomorfismo cercato \(\displaystyle \tilde{\pi} : V_j \rightarrow \Bbb R^r \)?
Cercando di risolvere il problema con quel che (credo) di sapere, ho fatto così (lasciandomi guidare dall'Abate):
Sia $\{ (V_{\beta}, \psi_{\beta}) \}$ un atlante per $N$ e $ \{ ( U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) \}$ un atlante per $M$. Siano $\xi_{\beta}$ le banalizzazioni per il fibrato $\pi: E \rightarrow N$. Infine definisco $L: F^*E \rightarrow E$ tale che associ ad $w \in (F^*E)_p$ se stesso in $E_{F(p)}$.
Voglio scrivere le banalizzazioni $\chi_{\alpha}$ di $\tilde{\pi}: F^*E \rightarrow M$ in termini delle $\xi_{\beta(\alpha)}$.
Ho il seguente diagramma:
Da cui, indicando con $\pi_1$ e $\pi_2$ le proiezioni sulla prima e seconda coordinata, trovo le componenti di $\chi_{\alpha}$ (faccio bene a chiamarle componenti?):
\(\displaystyle \pi_1 \circ \chi_{\alpha} (w) = \tilde{\pi} (w) \)
\(\displaystyle \pi_2 \circ \chi_{\alpha} (w) = \pi_2 \circ \xi_{\beta(\alpha)} \circ L (w) \)
\(\displaystyle \chi_{\alpha} (w) = \left( \tilde{\pi}(w), \pi_2 \circ \xi_{\beta(\alpha)} \circ L (w) \right) \)
e quindi
\(\displaystyle \chi_{\alpha}^{-1}(m,v) = L^{-1} \circ \chi_{\beta({\alpha})}^{-1} (v) \in \tilde{\pi}^{-1}(U_{\alpha}) \)
con $(m,v) \in U_{\alpha} \times \mathbb R^r$ da cui
\(\displaystyle \chi_{\alpha} \circ \chi_{\alpha '} (m,v) = \chi_{\alpha} \left( L^{-1} \circ \xi_{\beta(\alpha ')}^{-1} (v) \right) =
\left( \tilde{\pi}(L^{-1} \circ \xi_{\beta(\alpha ')}^{-1} ), \pi_2 \circ \xi_{\beta(\alpha)} \circ \xi_{\beta(\alpha ')} (v) \right) \)
ma
\(\displaystyle L^{-1} \circ \xi_{\beta(\alpha ')} (v) = w \)
\(\displaystyle \pi_2 \circ \xi_{\beta(\alpha)} \circ \xi_{\beta(\alpha ')} \equiv h_{\alpha \alpha '} (n) = h_{\alpha \alpha '} \circ F(m) \equiv g_{\alpha \alpha '} (m) \)
Con $n \in V_{\beta}$
E dunque \(\displaystyle F^*E \) è un fibrato vettoriale di rango $r$.
Di tutto questo discorso si salva solo il diagramma.
Direi che ti stai rifacendo al pullback in teoria delle categorie, che non conosco.
Da quel che ho capito, assumendo che i due blocchi che mi hai dato siano Pullback, devo ottenere da essi un terzo diagramma:
\(\displaystyle \begin{CD}
\tilde{\pi}^{-1}(V_j) @>\sim>> V_j \times \Bbb R^r\\
@VVV @VVV\\
V_j @>>> V_j
\end{CD} \)
In modo che sia il diagramma di sinistra citato nel lemma dell'incollamento. In tal modo sarà anch'esso un pb e...? avrò il diffeomorfismo cercato \(\displaystyle \tilde{\pi} : V_j \rightarrow \Bbb R^r \)?
Cercando di risolvere il problema con quel che (credo) di sapere, ho fatto così (lasciandomi guidare dall'Abate):
Sia $\{ (V_{\beta}, \psi_{\beta}) \}$ un atlante per $N$ e $ \{ ( U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) \}$ un atlante per $M$. Siano $\xi_{\beta}$ le banalizzazioni per il fibrato $\pi: E \rightarrow N$. Infine definisco $L: F^*E \rightarrow E$ tale che associ ad $w \in (F^*E)_p$ se stesso in $E_{F(p)}$.
Voglio scrivere le banalizzazioni $\chi_{\alpha}$ di $\tilde{\pi}: F^*E \rightarrow M$ in termini delle $\xi_{\beta(\alpha)}$.
Ho il seguente diagramma:
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Da cui, indicando con $\pi_1$ e $\pi_2$ le proiezioni sulla prima e seconda coordinata, trovo le componenti di $\chi_{\alpha}$ (faccio bene a chiamarle componenti?):
\(\displaystyle \pi_1 \circ \chi_{\alpha} (w) = \tilde{\pi} (w) \)
\(\displaystyle \pi_2 \circ \chi_{\alpha} (w) = \pi_2 \circ \xi_{\beta(\alpha)} \circ L (w) \)
\(\displaystyle \chi_{\alpha} (w) = \left( \tilde{\pi}(w), \pi_2 \circ \xi_{\beta(\alpha)} \circ L (w) \right) \)
e quindi
\(\displaystyle \chi_{\alpha}^{-1}(m,v) = L^{-1} \circ \chi_{\beta({\alpha})}^{-1} (v) \in \tilde{\pi}^{-1}(U_{\alpha}) \)
con $(m,v) \in U_{\alpha} \times \mathbb R^r$ da cui
\(\displaystyle \chi_{\alpha} \circ \chi_{\alpha '} (m,v) = \chi_{\alpha} \left( L^{-1} \circ \xi_{\beta(\alpha ')}^{-1} (v) \right) =
\left( \tilde{\pi}(L^{-1} \circ \xi_{\beta(\alpha ')}^{-1} ), \pi_2 \circ \xi_{\beta(\alpha)} \circ \xi_{\beta(\alpha ')} (v) \right) \)
ma
\(\displaystyle L^{-1} \circ \xi_{\beta(\alpha ')} (v) = w \)
\(\displaystyle \pi_2 \circ \xi_{\beta(\alpha)} \circ \xi_{\beta(\alpha ')} \equiv h_{\alpha \alpha '} (n) = h_{\alpha \alpha '} \circ F(m) \equiv g_{\alpha \alpha '} (m) \)
Con $n \in V_{\beta}$
E dunque \(\displaystyle F^*E \) è un fibrato vettoriale di rango $r$.
Di tutto questo discorso si salva solo il diagramma.
Vuoi trovarti in questa situazione: se chiamiamo $V_i = F^\leftarrow U_i$, si ha un diagramma del tipo
\[
\begin{CD}
V_i \times \Phi @>>> U_i \times \Phi \\
@VVV @VV\wr V \\
\tilde\pi^\leftarrow V_i @>>> \pi^\leftarrow U_i\\
@VVV @VVV\\
F^\leftarrow U_i @>>> U_i \\
@VVV @VVV \\
M @>>F> N
\end{CD}
\]
dove ogni quadrato è un pullback. Come conseguenza di questo, la freccia $V_i \times\Phi \to \tilde\pi^\leftarrow V_i$ deve essere un isomorfismo, dimostrando così che il pullback di $\pi$ mediante $F$ è un fibrato vettoriale su $M$.
\[
\begin{CD}
V_i \times \Phi @>>> U_i \times \Phi \\
@VVV @VV\wr V \\
\tilde\pi^\leftarrow V_i @>>> \pi^\leftarrow U_i\\
@VVV @VVV\\
F^\leftarrow U_i @>>> U_i \\
@VVV @VVV \\
M @>>F> N
\end{CD}
\]
dove ogni quadrato è un pullback. Come conseguenza di questo, la freccia $V_i \times\Phi \to \tilde\pi^\leftarrow V_i$ deve essere un isomorfismo, dimostrando così che il pullback di $\pi$ mediante $F$ è un fibrato vettoriale su $M$.
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