Azioni di due gruppi isomorfi su uno spazio topologico
Siano $G$ e $H$ due gruppi che agiscono sullo stesso spazio topologico $X$,
se $G$ ed $H$ sono isomorfi, posso affermare che gli spazi delle orbite $X$$/$$G$ e $X$$/$$H$ sono omeomorfi?
Notare che la domanda si potrebbe anche riformulare così: se uno stesso gruppo $G$ esercita due azioni diverse su uno spazio topologico $X$, allora i rispettivi spazi delle orbite sono omeomorfi?
Questo renderebbe non ambigua la notazione $X$$/$$G$, nella quale non viene specificata l'azione...
se $G$ ed $H$ sono isomorfi, posso affermare che gli spazi delle orbite $X$$/$$G$ e $X$$/$$H$ sono omeomorfi?
Notare che la domanda si potrebbe anche riformulare così: se uno stesso gruppo $G$ esercita due azioni diverse su uno spazio topologico $X$, allora i rispettivi spazi delle orbite sono omeomorfi?
Questo renderebbe non ambigua la notazione $X$$/$$G$, nella quale non viene specificata l'azione...
Risposte
Come minimo hai bisogno di aggiungere la condizione che le due azioni sono libere. Ma non sono sicuro che sia sufficiente.
Prendiamo pure due azioni libere.
Nel mio caso specifico lo spazio è $X=\CC^\star$ e i due gruppi sono:
$G=\{\phi^n|n\in\ZZ\}$, dove $phi$ è la mappa $z\mapsto 4*z$ (o un qualsiasi altro omeomorfismo di $\CC^\star$),
$H=\ZZ\times\{0\}$ .
E' vero che $X$$/$$G$ è omeomorfo a $X$$/$$H$ ?
Nel mio caso specifico lo spazio è $X=\CC^\star$ e i due gruppi sono:
$G=\{\phi^n|n\in\ZZ\}$, dove $phi$ è la mappa $z\mapsto 4*z$ (o un qualsiasi altro omeomorfismo di $\CC^\star$),
$H=\ZZ\times\{0\}$ .
E' vero che $X$$/$$G$ è omeomorfo a $X$$/$$H$ ?
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