Azione di gruppo $S^(2n+1)//S^1$

[Angus1956]

Definiamo quoziente $S^(2n+1)//S^1$: $S^(2n+1)$ è la sfera unitaria in $RR^(2n+2)= CC^(n+1)$, $S^1$ è la sfera unitaria in $CC$, il gruppo moltiplicativo $S^1$ agisce su $S^(2n+1)$ tramite moltiplicazione, cioè $\lambda*z = \lambdaz$ per ogni $\lambdainS^1$ e $zinS^(2n+1)subeCC^(n+1)\\{0}$. Mostrare che $S^(2n+1)//S^1$ è T2.

Ho provato a mostrare che la proiezione sul quoziente sia chiusa oppure trovare un aperto $A$ di $S^(2n+1)$ che contiene un insieme di rappresentanti e tale che ${lambdainS^1|lambdaAnnA!=∅}$ sia finito ma non sono riuscito a concludere nulla, qualcuno mi sa dire? Grazie.

[megas_archon]

\(S^{2n+1}/S^1\cong \mathbb{CP}^n\), che è chiaramente T2.

[Angus1956]

"megas_archon":\(S^{2n+1}/S^1\cong \mathbb{CP}^n\), che è chiaramente T2.

E ma io devo dimostrare che $ S^(2n+1)//S^1 $ è T2 perchè poi mi serve per dimostrare che lo spazio proiettio complesso è T2 ahahhahaha.

[megas_archon]

Se costruisci un omeomorfismo tra il tuo quoziente e \(\mathbb{CP}^n\), il tuo quoziente è T2.

[Angus1956]

"megas_archon":Se costruisci un omeomorfismo tra il tuo quoziente e \(\mathbb{CP}^n\), il tuo quoziente è T2.

Io devo dimostrare che \(\mathbb{CP}^n\) è T2 perciò l'idea che mi era venuta era di mostrare che $ S^(2n+1)//S^1 $ è T2 dato che come hai detto sono omeomorfi. Mi sembra più facile mostrare che $ S^(2n+1)//S^1 $ è T2 invece che \(\mathbb{CP}^n\)