Azione aggiunta su 1-forme
Buongiorno. Avrei bisogno di un chiarimento su uno dei punti che riguardano la definizione di Connessione su un Fibrato principale secondo wiki.
Questa e' la pagina a cui faccio riferimento: Connection (principal bundle).
Ho qualche problema a capire la prima delle due condizioni che definiscono la connessione su $P$. Viene definita esplicitamente l'azione aggiunta di $G$ su un campo di vettori $X$:
\[
ad_g(X) = \frac{d}{dt } \bigg\vert_{t=0} (g e^{tX} g^{-1}).
\]
Ma se $G$ agisce su una $1$-forma, come funziona? Io ho interpretato che se $\omega$ e' una $1$-forma, allora \(ad_g (\omega)\) e' la $1$-forma che, invece di mangiare un campo di vettori come gli viene dato, mangia il campo di vettori a cui e' stata applicata l'azione di $ad_g$. In particolare
\[
ad_g(\omega) \cdot (X) = \omega (ad_{g^{-1}} X).
\]
E' davvero cosi'?
Domanda di pigrizia: c'e' un modo piu' carino di leggere l'azione sul campo di vettori? (ad esempio senza ricorrere all'esponenziale, ma semplicemente usando l'azione di $G$ sulle fibre).
Questa e' la pagina a cui faccio riferimento: Connection (principal bundle).
Ho qualche problema a capire la prima delle due condizioni che definiscono la connessione su $P$. Viene definita esplicitamente l'azione aggiunta di $G$ su un campo di vettori $X$:
\[
ad_g(X) = \frac{d}{dt } \bigg\vert_{t=0} (g e^{tX} g^{-1}).
\]
Ma se $G$ agisce su una $1$-forma, come funziona? Io ho interpretato che se $\omega$ e' una $1$-forma, allora \(ad_g (\omega)\) e' la $1$-forma che, invece di mangiare un campo di vettori come gli viene dato, mangia il campo di vettori a cui e' stata applicata l'azione di $ad_g$. In particolare
\[
ad_g(\omega) \cdot (X) = \omega (ad_{g^{-1}} X).
\]
E' davvero cosi'?
Domanda di pigrizia: c'e' un modo piu' carino di leggere l'azione sul campo di vettori? (ad esempio senza ricorrere all'esponenziale, ma semplicemente usando l'azione di $G$ sulle fibre).
Risposte
Dopo qualche riflessione, credo che quanto ho scritto sopra sia corretto, sebbene non abbia trovato fonti in cui la cosa viene detta esplicitamente in modo inequivocabile.
Resta valida la domanda:
c'e' un modo piu' carino di leggere l'azione sul campo di vettori? (ad esempio senza ricorrere all'esponenziale, ma semplicemente usando l'azione di G sulle fibre).
Resta valida la domanda:
c'e' un modo piu' carino di leggere l'azione sul campo di vettori? (ad esempio senza ricorrere all'esponenziale, ma semplicemente usando l'azione di G sulle fibre).
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