AX=0 dim. che l'insieme delle sol. è sottospazio vettoriale

[gaten]

Come posso dimostrare che l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in forma $AX=0$ in n variabili sul campo dei reali, è un sottospazio vettoriale di $R^n$

[dissonance]

Applicando la definizione e basta. E' un esercizio estremamente banale che devi saper fare. Rivelarti la soluzione è inutile e dannoso per te.

[gaten]

La mia risposta all'esercizio è stata questa:

Un sistema omogeneo in forma $AX=0$ è sempre compatibile, cioè ammette soluzioni, ovvero almento una ennupla $(y1,y2,...,yn)$ tale che $AY=0$.
Inoltre se il $rg(A)=n$ allora il sistema è compatibile determinato, mentre se il $rg(A)

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[dissonance]

No, non è questo lo svolgimento. Lascia stare le nozioni di "rango" e tutto. Devi proprio usare le mani: prendi due soluzioni e chiediti - la loro somma è ancora soluzione? Prendi una soluzione e uno scalare e chiediti: se moltiplico questa soluzione per questo scalare, ho ancora una soluzione?

[gaten]

Quindi quello che dici tu è verificare questo:

Prendo un'altra soluzione generica $(y1',y2',...,yn')$ e verifico che è chiusa rispetto somma e prodotto:

$(y1,y2,...,yn)+(y1',y2',...,yn')=(y1+y1',y2+y2'+...+yn+yn')$
poi prendo uno scalare h per verificare se è chiuso rispetto al prodotto:

$h(y1,y2,...,yn)=(hy1+hy2+...+hy3)


(Ovviamente dovrei verificare anche se appartiene il vettore nullo, per questo basta prendere uno scalare h=0)
Da questo posso quindi concludere che l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è sottospazio di $R^n$ ??

[dissonance]

Ma no! Che cosa hai fatto? Non hai fatto niente. Quella somma, quel prodotto per uno scalare...devi verificare che continuano ad essere soluzioni del sistema lineare! Rifletti con più calma e attenzione.