Autovettori nell'Analisi delle Componenti Principali
Buongiorno a tutti!
Spero di aver azzeccato la sezione del forum in cui postare (in effetti, l'argomento è algebrico, ma riguarda un preciso momento di un'analisi statistica multivariata).
Dunque, vi spiego il punto. Scusate se mi dilungherò troppo:
In una fase dell'analisi delle componenti principali è necessario dare un'occhiata ad una serie di autovalori ed autovettori: quelli che rispondono a determinati requisiti, possono essere "presi" per passare alla fase successiva.
Ora, studiando un esempio "passo passo" presente nel libro "Analisi dei dati e data mining per le decisioni aziendali (Andrea Cerioli, Sergio Zani)", mi sono imbattuto in una situazione "curiosa": benchè il modulo degli autovettori da me ricavati con l'analisi (software R) risultino uguali a quelli forniti nel libro, essi sono totalmente inversi nei segni; ad esempio: dalla mia analisi risulta 0,111; 0,211; -0,403 (tre numeri a caso), nel libro scrivono -0,111; -0,211; 0,403.
Ora, girando qua e la sulla rete, ho trovato un pdf nel quale qualcuno ha fatto quello che sto facendo io: proporre gli esempi del libro e descriverne la loro risoluzione utilizzando il software R. Ho notato che la situazione si è proposta anche in questo pdf (ed ho tirato un sospiro di sollievo, perchè pensavo di aver sbagliato qualcosa nei passaggi
). L'autore del pdf (Sergio Polini) spiega il perchè accada questo genere di cosa; tuttavia la sua spiegazione mi rimane un po' "nebulosa"; ve la posto:
(per correttezza, posto il link del pdf online: web.mclink.it/MC1166/StatisticaMultivariata/SMVconR.pdf)
Tralasciando la seconda parte, che riguarda più direttamente l'analisi delle componenti principali, ciò che mi interessa capire è la prima: "Un
autovettore può avere infatti norma 1 anche cambiando i segni dei suoi elementi". Sareste così gentili da spiegarmi meglio questa frase? Nella sostanza, posso "rivoltare" i segni nell'autovettore a mio piacimento?
Mi scuso ancora per la lunghezza della domanda (e della stupidità della domanda, se effettivamente dovesse essere stupida
).
Un grazie in anticipo!
Spero di aver azzeccato la sezione del forum in cui postare (in effetti, l'argomento è algebrico, ma riguarda un preciso momento di un'analisi statistica multivariata).
Dunque, vi spiego il punto. Scusate se mi dilungherò troppo:
In una fase dell'analisi delle componenti principali è necessario dare un'occhiata ad una serie di autovalori ed autovettori: quelli che rispondono a determinati requisiti, possono essere "presi" per passare alla fase successiva.
Ora, studiando un esempio "passo passo" presente nel libro "Analisi dei dati e data mining per le decisioni aziendali (Andrea Cerioli, Sergio Zani)", mi sono imbattuto in una situazione "curiosa": benchè il modulo degli autovettori da me ricavati con l'analisi (software R) risultino uguali a quelli forniti nel libro, essi sono totalmente inversi nei segni; ad esempio: dalla mia analisi risulta 0,111; 0,211; -0,403 (tre numeri a caso), nel libro scrivono -0,111; -0,211; 0,403.
Ora, girando qua e la sulla rete, ho trovato un pdf nel quale qualcuno ha fatto quello che sto facendo io: proporre gli esempi del libro e descriverne la loro risoluzione utilizzando il software R. Ho notato che la situazione si è proposta anche in questo pdf (ed ho tirato un sospiro di sollievo, perchè pensavo di aver sbagliato qualcosa nei passaggi
). L'autore del pdf (Sergio Polini) spiega il perchè accada questo genere di cosa; tuttavia la sua spiegazione mi rimane un po' "nebulosa"; ve la posto:Si può notare che gli autovettori sono uguali nei valori assoluti ma diversi nei segni. Un
autovettore può avere infatti norma 1 anche cambiando i segni dei suoi elementi e, in
effetti, si possono scegliere i segni che risultano più idonei ad esprimere le relazioni tra le
variabili (le colonne della matrice dei dati) e le componenti (le colonne della matrice Y) .
(per correttezza, posto il link del pdf online: web.mclink.it/MC1166/StatisticaMultivariata/SMVconR.pdf)
Tralasciando la seconda parte, che riguarda più direttamente l'analisi delle componenti principali, ciò che mi interessa capire è la prima: "Un
autovettore può avere infatti norma 1 anche cambiando i segni dei suoi elementi". Sareste così gentili da spiegarmi meglio questa frase? Nella sostanza, posso "rivoltare" i segni nell'autovettore a mio piacimento?
Mi scuso ancora per la lunghezza della domanda (e della stupidità della domanda, se effettivamente dovesse essere stupida
).Un grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, benvenuto nel forum.
Non capisco molto bene cosa intendi con "segno" di un autovettore e nemmeno perché il tuo esempio consista di numeri e non di vettori.
Comunque sperando di poterti essere utile, ti dico che se [tex]v[/tex] è un autovettore di autovalore [tex]\lambda[/tex] allora anche [tex]-v[/tex] è un autovettore di autovalore [tex]\lambda[/tex]. Questo segue dalla linearità: se chiami [tex]A[/tex] la tua matrice allora hai che [tex]A(-v)=-(Av)=-\lambda v = \lambda (-v)[/tex].
[mod="Martino"]Nel frattempo sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Non capisco molto bene cosa intendi con "segno" di un autovettore e nemmeno perché il tuo esempio consista di numeri e non di vettori.
Comunque sperando di poterti essere utile, ti dico che se [tex]v[/tex] è un autovettore di autovalore [tex]\lambda[/tex] allora anche [tex]-v[/tex] è un autovettore di autovalore [tex]\lambda[/tex]. Questo segue dalla linearità: se chiami [tex]A[/tex] la tua matrice allora hai che [tex]A(-v)=-(Av)=-\lambda v = \lambda (-v)[/tex].
[mod="Martino"]Nel frattempo sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Grazie per la risposta Martino (e per aver ovviato al mio errore di sezione )
Parto dal fondo del tuo reply:
Se ho ben capito, la proprietà di linearità assicura (in parole mooolto povere) che ad ogni autovalore [tex]\lambda[/tex] possono essere associati due autovettori [tex]v[/tex] e [tex]-v[/tex], che sono uguali a meno del segno delle componenti. Dico bene?
Mi scuso per non essere riuscito a spiegarmi.
Dunque, a partire da una matrice di dati, utilizzando il software per analisi statistiche R, pervengo alla derminazione degli autovalori e degli autovettori di tale matrice.
Gli autovalori [tex]\lambda[/tex] che ottengo in questo caso sono: 4.61563 1.00962 0.23149 0.12245 0.02079 0.00002
e poi ci sono i sei autovettori; di questi, ti posto solo il secondo, quello che ha un autovalore pari a 1,00962, che è quello di cui parlavo nel primo post. [tex]v2[/tex]: 0,111 0,211 -0,403 0,404 0,169 -0,768.
I valori numerici di questo autovettore, così come calcolati dal software (e da come compaiono nel pdf citato nel primo post) sono uguali a quelli del libro, ma presentano segni inversi rispetto a questi ultimi; il libro infatti li indica: -0,111 -0,211, 0,403 -0,404 -0,169, 0,768.
Nel pdf questa "differenza" viene spiegata in questo modo:
Ed è questa regola che non mi era molto chiara. Ora, avendomi spiegato la linearità, immagino di essere riuscito a comprendere il perchè ciò accada. Grazie!
)Parto dal fondo del tuo reply:
"Martino":
Comunque sperando di poterti essere utile, ti dico che se [tex]v[/tex] è un autovettore di autovalore [tex]\lambda[/tex] allora anche [tex]-v[/tex] è un autovettore di autovalore [tex]\lambda[/tex]. Questo segue dalla linearità: se chiami [tex]A[/tex] la tua matrice allora hai che [tex]A(-v)=-(Av)=-\lambda v = \lambda (-v)[/tex].
Se ho ben capito, la proprietà di linearità assicura (in parole mooolto povere) che ad ogni autovalore [tex]\lambda[/tex] possono essere associati due autovettori [tex]v[/tex] e [tex]-v[/tex], che sono uguali a meno del segno delle componenti. Dico bene?
"Martino":
Non capisco molto bene cosa intendi con "segno" di un autovettore e nemmeno perché il tuo esempio consista di numeri e non di vettori.
Mi scuso per non essere riuscito a spiegarmi.
Dunque, a partire da una matrice di dati, utilizzando il software per analisi statistiche R, pervengo alla derminazione degli autovalori e degli autovettori di tale matrice.
Gli autovalori [tex]\lambda[/tex] che ottengo in questo caso sono: 4.61563 1.00962 0.23149 0.12245 0.02079 0.00002
e poi ci sono i sei autovettori; di questi, ti posto solo il secondo, quello che ha un autovalore pari a 1,00962, che è quello di cui parlavo nel primo post. [tex]v2[/tex]: 0,111 0,211 -0,403 0,404 0,169 -0,768.
I valori numerici di questo autovettore, così come calcolati dal software (e da come compaiono nel pdf citato nel primo post) sono uguali a quelli del libro, ma presentano segni inversi rispetto a questi ultimi; il libro infatti li indica: -0,111 -0,211, 0,403 -0,404 -0,169, 0,768.
Nel pdf questa "differenza" viene spiegata in questo modo:
Si può notare che gli autovettori sono uguali nei valori assoluti ma diversi nei segni. Un
autovettore può avere infatti norma 1 anche cambiando i segni dei suoi elementi
Ed è questa regola che non mi era molto chiara. Ora, avendomi spiegato la linearità, immagino di essere riuscito a comprendere il perchè ciò accada. Grazie!
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