Autovettori Matrice 3x3

[delker79]

Sto provando ad aiutare la mia morosa a risolvere alcuni esercizi per un esame di Analisi Multivariate di Psicologia.
Con i ricordi del liceo e cercando un po' in rete non credo di essere riuscito a risolvere i quesiti.
Sono un paio di un esercizi uguali che sono stati proposti nelle ultime sessioni d'esame.
Ve li scivo e vi dico fino a dove sono arrivato.

Partendo da questa matrice:
A=$((2,3,1),(1,2,2),(1,4,1))$
estrai il primo autovettore con il metodo iterattivo.
Quindi, calcolando:
det$|A-\lambda*I|$
arrivo a questa equazione:
$\lambda^3-5\lambda^2-4\lambda+7=0$

L'altro è:

Partendo da questa matrice:
A=$((2,3,1),(1,2,1),(1,4,2))$
estrai il primo autovettore con il metodo iterattivo.
Quindi calcolando:
det$|A-\lambda*I|$
arrivo a questa equazione:
$\lambda^3-6\lambda^2+4\lambda+1=0$

Da qui non riesco più a scomporre nessuna delle due equazioni e il calcolo con la formula generale per le equazioni di terzo grado, mi porta a conti assurdi e risultati non reali, che credo (ma non sono sicuro) non siano quelli che ci si aspetti dal problema.

Eventualmente per qualche dettaglio in più chiedetemi pure.

Intanto, mille grazie in anticipo per l'aiuto che mi darete.

EDIT: Ho corretto la seconda matrice, avevo copiato la prima. sorry.

[21zuclo]

ti do la definizione di autovettori..come me l'aveva data il mio prof a lezione

Data una matrice quadrata $A$ sono detti autovettori di $A$ tutti i vettori $\ul (v)$
che risolvono l'equazione $ A \ul(v)= \lambda \ul(v) $

ove $\lambda$ è detto autovettore relativo all'autovettore $\ul(v)$ ($\ul(v)$ è l'autovettore relativo all'autovalore $\lambda$)

per determinare gli autovettori, hai bisogno degli autovalori

gli autovalori si calcolano $ det(A-\lambda I_n)=0 $

dopo per calcolare gli autovettori devi fare $(A-\lambda_0 I_n)\ul(v)=0 $ (ammettendo che $\lambda_0$ sia un autovalore)

per esempio calcoliamo gli autovalori e i singoli autovettori di $ A=( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $

calcoliamo $ det( ( 1-\lambda , 1 , 0 ),( 1 , -\lambda , 1 ),( 0 , 1 , 1-\lambda ) ) $

svolgendo i conti ti trovi
$ (1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2)=0\to (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1)=0 $

gli autovalori sono $ \lambda_1=1 \vee \lambda_2=2\vee \lambda_3=-1 $

gli autovettori relativi a $\lambda_1=1$, devo risolvere come ho detto sopra il sistema $(A-\lambda_1 I_3)\ul(v)=0$

ove $\ul(v)=((x),(y),(z))$

quindi si ha $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) )((x),(y),(z))=((0),(0),(0))\to { ( x=0 ),( x-y+z=0 ),( y=0 ):} $

si ha che $ ((x),(0),(-x))=x((1),(0),(-1)) $ ..cioè tutti i multipli di $ ((1),(0),(-1)) $

stessa cosa fai gli altri autovalori!..

fai la stessa cosa col tuo esercizio!..

P.S.: scomporre un polinomio di grado $>2$ usa la regola di Ruffini.. come nel tuo caso $ \lambda^3-5\lambda^2-4\lambda+7=0 $

(ah NON ho controllato se i tuoi conti sono esatti, per cui non so se il polinomio caratteristico è esatto)

[delker79]

Grazie mille!
Ora ci dovrei essere.