Autovettori l.i

[davide51]

Ho difficoltà con la dimostrazione di questo teorema:

Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

Ho provato a risolvere per induzione



Consideriamo la combinazione lineare: $a_1v_1+...+a_nv_n=0$.
Moltipicando per $A$ segue: $a_1aAv_1+...+a_nAv_n=0$
da cui :$a_1lambdav_1+...a_nlambda_nv_n=0$
sottreando per $lambda_1$: $(lambda_2-lambda_1)a_2v__2+...+(lambda_n-lambda_1)a_nv_n=0$

Per ipotesi induttiva ${v_2,...,v_n}$ sono indipendenti. Quindi $(lambda_i-lambda_1)a_i=0$ per $i=2,..,n$.
Siccome $(lambda_i-lambda_1) in 0$ segue $a_i=0$ per $i=2,...,n$.

Sostituendo in$a_1v_1+...+a_nv_n$ si ottiene $a_1=0$ come volevamo


Può andare bene???

[Cantor99]

Se gli autovettori come dici sono distinti direi che sono $h$ più che $n$, dove per $n$ di solito si dà il significato di dimensione dello spazio vettoriale cui appartengono gli autovettori.

In ogni caso la dimostrazione che conosco non procede per induzione ma per assurdo e usa il seguente fatto
"${v_1,...,v_h}$ è linearmente indipendente se esiste un vettore $v_j$ che dipende dai rimanenti"

Dunque, per assurdo siano linearmente dipendenti, allora
$v_j=a_1v_1+...+a_(j-1)v_(j-1)$ (1)
Moltiplico la (1) per l'autovalore di $v_j$ $\lambda_j$ ottenendo
$\lambda_jv_j=\lambda_ja_1v_1+...+\lambda_ja_(j-1)v_(j-1)$ (2)
Applico l'endomorfismo $f$ ottenendo
$f(v_j)=f(a_1v_1+...+a_(j-1)v_(j-1))$
$\lambda_jv_j=a_1\lambda_1v_1+...+\lambda_(j-1)a_(j-1)v_(j-1)$ (3)

Sottraendo la (2) alla (3)
$0=a_1(\lambda_j-\lambda_1)v_1+...+a_(j-1)(\lambda_j-\lambda_(j-1))v_(j-1)$

Ora però $v_1,...,v_(j-1)$ sono linearmente indipendente e i coefficienti $a_1,...,a_(j-1)$ devono essere nulli allorché $\lambda_j-\lambda_i!=0$ qualunque sia $i=1,..,j-1$

Si trae $v_j=0$, che è assurdo

[davide51]

"Cantor99":Se gli autovettori come dici sono distinti direi che sono $h$ più che $n$, dove per $n$ di solito si dà il significato di dimensione dello spazio vettoriale cui appartengono gli autovettori.

In ogni caso la dimostrazione che conosco non procede per induzione ma per assurdo e usa il seguente fatto
"${v_1,...,v_h}$ è linearmente indipendente se esiste un vettore $v_j$ che dipende dai rimanenti"

Dunque, per assurdo siano linearmente dipendenti, allora
$v_j=a_1v_1+...+a_(j-1)v_(j-1)$ (1)
Moltiplico la (1) per l'autovalore di $v_j$ $\lambda_j$ ottenendo
$\lambda_jv_j=\lambda_ja_1v_1+...+\lambda_ja_(j-1)v_(j-1)$ (2)
Applico l'endomorfismo $f$ ottenendo
$f(v_j)=f(a_1v_1+...+a_(j-1)v_(j-1))$
$\lambda_jv_j=a_1\lambda_1v_1+...+\lambda_(j-1)a_(j-1)v_(j-1)$ (3)

Sottraendo la (2) alla (3)
$0=a_1(\lambda_j-\lambda_1)v_1+...+a_(j-1)(\lambda_j-\lambda_(j-1))v_(j-1)$

Ora però $v_1,...,v_(j-1)$ sono linearmente indipendente e i coefficienti $a_1,...,a_(j-1)$ devono essere nulli allorché $\lambda_j-\lambda_i!=0$ qualunque sia $i=1,..,j-1$

Si trae $v_j=0$, che è assurdo

Non ho capito quest'ultimo passaggio: Ora però $v_1,...,v_(j-1)$ sono linearmente indipendente e i coefficienti $a_1,...,a_(j-1)$ devono essere nulli allorché $\lambda_j-\lambda_i!=0$ qualunque sia $i=1,..,j-1$

Si trae $v_j=0$, che è assurdo


Non ho capito perchè $v_j=0$ cioè $\lambda_j-\lambda_i!=0$ per ipotesi e tutti i $v_j!=0$ per definizione quindi per essere indipendenti non basta che $a_1=...=a_(j-1)=0$???

[Cantor99]

Perdonami, ma nel "fatto" che uso intendevo "precedenti" e non "rimanenti"

Comunque, i vettori $v_1,...,v_(j-1)$ sono linearmente indipendenti e visto che la loro combinazione è pari al vettore nullo si deve avere che ogni coefficiente è nullo cioè,
$a_i(\lambda_j-\lambda_i)=0$ con $i=1,...,j-1$.
Visto che gli autovalori sono distinti è $a_i=0$ qualunque sia $i=1,...,j-1$ e tornando alla (1) si ha $v_j=0$

[davide51]

"Cantor99":Se gli autovettori come dici sono distinti direi che sono $h$ più che $n$, dove per $n$ di solito si dà il significato di dimensione dello spazio vettoriale cui appartengono gli autovettori.

In ogni caso la dimostrazione che conosco non procede per induzione ma per assurdo e usa il seguente fatto
"${v_1,...,v_h}$ è linearmente indipendente se esiste un vettore $v_j$ che dipende dai rimanenti"

Dunque, per assurdo siano linearmente dipendenti, allora
$v_j=a_1v_1+...+a_(j-1)v_(j-1)$ (1)
Moltiplico la (1) per l'autovalore di $v_j$ $\lambda_j$ ottenendo
$\lambda_jv_j=\lambda_ja_1v_1+...+\lambda_ja_(j-1)v_(j-1)$ (2)
Applico l'endomorfismo $f$ ottenendo
$f(v_j)=f(a_1v_1+...+a_(j-1)v_(j-1))$
$\lambda_jv_j=a_1\lambda_1v_1+...+\lambda_(j-1)a_(j-1)v_(j-1)$ (3)

Sottraendo la (2) alla (3)

$0=a_1(\lambda_j-\lambda_1)v_1+...+a_(j-1)(\lambda_j-\lambda_(j-1))v_(j-1)$

Ora però $v_1,...,v_(j-1)$ sono linearmente indipendente e i coefficienti $a_1,...,a_(j-1)$ devono essere nulli allorché $\lambda_j-\lambda_i!=0$ qualunque sia $i=1,..,j-1$

Si trae $v_j=0$, che è assurdo

Ma in questa frase :"${v_1,...,v_h}$ è linearmente indipendente se esiste un vettore $v_j$ che dipende dai rimanenti"
intendi dipendenti o indipendenti???

[Cantor99]

Dipendenti, perdona l'errore grossolano (in ogni caso se dei vettori sono linearmente indipendenti nessuno tra loro può dipendere dai precedenti!)