Autovettori in T=rotazione di un angolo
Buongiorno a tutti,
sto studiando autovettori e autovalori e sugli appunti che ho preso a lezione c'è un esempio in cui l'operatore lineare in questione è $T=T_\theta=$rotazione di un angolo $\theta$ ; dice che se $\theta=0,\pi,2\pi,...$ non vi sono autovettori, e che le matrici rappresentanti l'operatore lineare con quegli angoli non sono diagonalizzabili. Entrambe le affermazioni non mi sono chiare perchè:
1)conoscendo la definizione di autovettore, cioè un vettore non nullo per cui vale $T(v)=\lambda v$ (dove $\lambda$ è l'autovalore associato), ho pensato che gli unici casi, nell'operatore lineare dell'esempio, in cui vi sono sicuramente autovettori, sono proprio quelli che esclude, perchè se $\theta=0$ tutti i vettori sono autovettori con autovalore 1, se $\theta=\pi$ tutti i vettori sono autovettori con autovalore -1, e così via;
2)la matrice rappresentante quell'operatore lineare con $\theta=0$ è $((1,0),(0,1))$, con $\theta=\pi$ è $((-1,0),(0,-1))$. So che una matrice è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale; perchè quindi, essendo queste matrici già delle diagonali, e quindi simili a loro stesse (visto che la similitudine tra matrici è una proprietà riflessiva), non sono diagonalizzabili?
Spero che possiate chiarire questi dubbi!
Ringrazio in anticipo,
Valentina
sto studiando autovettori e autovalori e sugli appunti che ho preso a lezione c'è un esempio in cui l'operatore lineare in questione è $T=T_\theta=$rotazione di un angolo $\theta$ ; dice che se $\theta=0,\pi,2\pi,...$ non vi sono autovettori, e che le matrici rappresentanti l'operatore lineare con quegli angoli non sono diagonalizzabili. Entrambe le affermazioni non mi sono chiare perchè:
1)conoscendo la definizione di autovettore, cioè un vettore non nullo per cui vale $T(v)=\lambda v$ (dove $\lambda$ è l'autovalore associato), ho pensato che gli unici casi, nell'operatore lineare dell'esempio, in cui vi sono sicuramente autovettori, sono proprio quelli che esclude, perchè se $\theta=0$ tutti i vettori sono autovettori con autovalore 1, se $\theta=\pi$ tutti i vettori sono autovettori con autovalore -1, e così via;
2)la matrice rappresentante quell'operatore lineare con $\theta=0$ è $((1,0),(0,1))$, con $\theta=\pi$ è $((-1,0),(0,-1))$. So che una matrice è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale; perchè quindi, essendo queste matrici già delle diagonali, e quindi simili a loro stesse (visto che la similitudine tra matrici è una proprietà riflessiva), non sono diagonalizzabili?
Spero che possiate chiarire questi dubbi!
Ringrazio in anticipo,
Valentina
Risposte
Pensate che potrei aver sbagliato a scrivere? Anche se mi sembra strano...
Probabile che tu abbia sbagliato a scrivere. Anzi..potresti aver semplicemente scordato la sbarretta sopra l'uguale. Sostituisci $=$ con $\ne$ e torna tutto...
Mi sembra strano che abbia sbagliato a scrivere tutte queste cose, ma se mi confermate che i ragionamenti che ho fatto io sono corretti forse il professore intendeva qualcos'altro, o forse ho sbagliato e basta. Da una parte meglio se ho solo sbagliato, vuol dire che i concetti li ho capiti.. Spero sia così, grazie
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