Autovettori generalizzati di una matrice 4x4
salve a tutti!
come da titolo, ho un problema a trovare gli autovettori di questa matrice 4x4
$((1,0,0,0),(0,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1))$
se i miei calcoli sono giusti, allora ho un unico autovalore $\lambda=1$ la cui molteplicità algebrica è 4.
nella ricerca gli autovettori, il mio problema sorge quando risolvo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice data. finora ho avuto a che fare con autovettori in cui si presentava un unico parametro, ma in questo caso ve ne sono 3 (poiché $\Rg(A-lambdaI)=1$ ), e non so come comportarmi.
qualcuno che possa illuminarmi?
come da titolo, ho un problema a trovare gli autovettori di questa matrice 4x4
$((1,0,0,0),(0,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1))$
se i miei calcoli sono giusti, allora ho un unico autovalore $\lambda=1$ la cui molteplicità algebrica è 4.
nella ricerca gli autovettori, il mio problema sorge quando risolvo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice data. finora ho avuto a che fare con autovettori in cui si presentava un unico parametro, ma in questo caso ve ne sono 3 (poiché $\Rg(A-lambdaI)=1$ ), e non so come comportarmi.
qualcuno che possa illuminarmi?
Risposte
Peccato, c'eri vicino.
L'autovalore \( 1 \) ha molteplicità \( m(1) = 3 \); infatti ti sei dimenticato l'autovalore \( 0 \) (di molteplicità \( m(0) = 1 \)).
Per quanto riguarda gli autospazi, non devi far altro che risolvere i sistemi lineari
\[ \begin{matrix} V(0): AX = \mathbf{0} \\ V(1): (A-I)\, X = \mathbf{0} \end{matrix} \]
Prova di nuovo sulla base delle novità.
L'autovalore \( 1 \) ha molteplicità \( m(1) = 3 \); infatti ti sei dimenticato l'autovalore \( 0 \) (di molteplicità \( m(0) = 1 \)).
Per quanto riguarda gli autospazi, non devi far altro che risolvere i sistemi lineari
\[ \begin{matrix} V(0): AX = \mathbf{0} \\ V(1): (A-I)\, X = \mathbf{0} \end{matrix} \]
Prova di nuovo sulla base delle novità.
soliti errori di distrazione!
ok, ho trovato l'autovalore $0$, la cui $ma(0)=1$, e i tre autovalori $1$, con $ma(1)=3$. quindi ho calcolato l'autovettore associato a $0$: $\vec v1=((0),(1),(0),(0))$.
tuttavia nel calcolo dell'autovettore associato a $1$ ho ritrovato lo stesso problema di prima: devo risolvere di nuovo un sistema omogeneo con tre parametri (dato che ho ancora $Rg(A-1I)=1$).
il vettore con i parametri che trovo è $\vec v2=((x),(0),(z),(t))$, e da qui non ho proprio idea di come continuare...
ok, ho trovato l'autovalore $0$, la cui $ma(0)=1$, e i tre autovalori $1$, con $ma(1)=3$. quindi ho calcolato l'autovettore associato a $0$: $\vec v1=((0),(1),(0),(0))$.
tuttavia nel calcolo dell'autovettore associato a $1$ ho ritrovato lo stesso problema di prima: devo risolvere di nuovo un sistema omogeneo con tre parametri (dato che ho ancora $Rg(A-1I)=1$).
il vettore con i parametri che trovo è $\vec v2=((x),(0),(z),(t))$, e da qui non ho proprio idea di come continuare...
"mark.jay":
ho calcolato l'autovettore associato a $0$: $\vec v1=((0),(1),(0),(0))$.
Casomai un autovettore. Comunque, se applichi la definizione di autovettore ti accorgi che quello che hai calcolato non è un autovettore.
L'autospazio relativo all'autovalore \( 0 \) è
\[ V\, (0) = \mathcal{L}\, ((0,\, 1,\, -1,\, 0)) \]
che ha dimensione \( 1 \).
"mark.jay":
il vettore con i parametri che trovo è $\vec v2=((x),(0),(z),(t))$, e da qui non ho proprio idea di come continuare...
Su questi autovettori sono invece d'accordo.
L'autospazio relativo all'autovalore \( 1 \) è allora
\[ V\, (1) = \mathcal{L}\, ((1,\, 0,\, 0,\, 0),\, (0,\, 0,\, 1,\, 0),\, (0,\, 0,\, 0,\, 1)) \]
che come vedi ha dimensione \( 3 \).
Osservazione:
Il fatto che la matrice abbia l'autovalore \( 0 \) si poteva capire anche senza fare conti.
Essa possiede infatti una riga nulla, pertanto non è invertibile. L'endomorfismo ad essa associato non è invertibile a sua volta, cosa che per il teorema del rango comporta la sua non iniettività (quindi il nucleo ha dimensione maggiore di \( 0 \)). Quest'ultimo fatto implica che \( 0 \) è autovalore per la matrice di partenza.
ok, sono arrivato finalmente a determinare gli autovettori da te indicati. per completare l'esercizio devo calcolare la forma diagonale di $A$. poichè $ma(\lambda_i)=mg(\lambda_i)$ per ogni $i$ allora è possibile effettuare la diagonalizzazione. eppure, la matrice che mi risulta è la seguente
$((0,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1))$
che evidentemente non è diagonale. dov'è che ho sbagliato stavolta??
(intanto ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato finora!)
$((0,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1))$
che evidentemente non è diagonale. dov'è che ho sbagliato stavolta??
(intanto ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato finora!)
La matrice diagonale si ottiene a partire da \( A \) tramite la relazione
\[ D = M^{-1}\, A\, M \]
dove \( M \) è una matrice invertibile le cui colonne si costruiscono attraverso le componenti di una base di autovettori di \( A \).
Scrivi la matrice \( M \) e mostra i passaggi che hai fatto per arrivare a \( D \).
\[ D = M^{-1}\, A\, M \]
dove \( M \) è una matrice invertibile le cui colonne si costruiscono attraverso le componenti di una base di autovettori di \( A \).
Scrivi la matrice \( M \) e mostra i passaggi che hai fatto per arrivare a \( D \).
allora la matrice del cambiamento di base è:
$M=((0,1,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,1,0),(0,0,0,1))$
per trovare $M^-1$ e per il prodotto $D=M^-1 A M$ ho fatto i calcoli al computer! quindi se l'errore non sta in $M$ può darsi semplicemente che abbia sbagliato a digitare i dati sul programma...
$M=((0,1,0,0),(1,0,0,0),(-1,0,1,0),(0,0,0,1))$
per trovare $M^-1$ e per il prodotto $D=M^-1 A M$ ho fatto i calcoli al computer! quindi se l'errore non sta in $M$ può darsi semplicemente che abbia sbagliato a digitare i dati sul programma...
La matrice \( M \) è corretta.
meno male! 
però non capisco come mai la matrice D non mi torna "in forma diagonale"...
però non capisco come mai la matrice D non mi torna "in forma diagonale"...
Se i calcoli non tornano, prova quest'altra strada: scrivi la matrice \( M_B \), cioè la matrice \( M \) rispetto alla base di autovettori trovata.
Deve risultare \( M_B = D \).
Deve risultare \( M_B = D \).
ok ho capito.... grazie mille!
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