Autovettori generalizzati

[chi8r8]

cosa sono gli autovettori generalizzati?
conosco quelli normali e so come si calcolano ma mi sfugge il significato di quelli generalizzati.
se sapete dirmi qualcosa e soprattutto farmi un esempio.grazie mille

[miuemia]

devi sapere che dato un endomorfimo $f:V->V$ e supponiamo che V sia uno spazio vettoriale su $CC$ in modo da avere tutti gli autovalori nel campo è sempre possibile decomporre V in somma diretta di autospazi generalizzati che sono l'unione della successione $ker(A-x_iI) sub ker(A-x_iI)^2 sub...sub(A-x_iI)^sub..$ per ogni x_i autovalore di V e A è la matrice associata a V.
si dimostra che questa successiione si stabilizza cioè da un certo punto in poi gli insiemi sono tutti uguali e a quel punto gli autovettori generalizzati sono quei $v in V:\quad ker(A-x_iI)^rv=0$ se r è l'intero a cui si stabilizza la successione.
sostanzialmente questo vale perchè è sempre possibile ricondursi alla forma canonica di Jordan della matrice A se ha gli autovalori nel campo.
spero di essere stato chiaro comunque per chiarimenti consulta in Lang e troverai quello che cerchi forse spiegato molto meglio di come ho fatto io.
ciao

[chi8r8]

per esempio,se prendo la matrice
A=[0 1;-1 -1];
essa ha autovalori complessi (-0.5+\-0.866i)ma gli autovettori?
ho provato a calcolare (A-lamda*I)*v=0 ma risulta la soluzione banale(v1=v2=0).
quindi credo che servano gli autovettori generalizzati ma non so come fare.
se puoi aiutami.grazie

[Camillo]

Provando a calcolare gli autovettori relativi all'autovalore : $-1/2+(sqrt(3)/2)*i $ si ottiene il seguente risultato :

$ x_2 = (sqrt(3)*i/2-1/2)*x_1 $
Ponendo ad es. $x_1 = 1$ si ha $x_2 = sqrt(3)*i/2-1/2 $.
Un autovettore relativo all'autovalore detto è quindi ad es. :$ ( 1,sqrt(3)*i/2-1/2)$.
Adesso fai lo stesso procedimento per l'altro autovalore, troverai gli autovettori relativi e potrai quindi definire una base degli autovettori.
Non so cosa siano gli autovettori generalizzati ( forse quelli a valori complessi ?? ) .

[leev]

Ma parli forse dei vettori principali associati agli autovalori?
cioè:
i vettori $v in CC^n$, $v!=0$, tali che,per un numero naturale $s$, $(A-lambdaE)^s v = 0$
(Dove $lambda$ è un autovalore)
Il piu piccolo $s$ per cui vale questa relazione è l'ordine (o grado..) di $v$.

Difatti con $s=1$, $v$ è un autovettore.

Non so se siano gli autovettori generalizzati..cmq ci starebbe bene come definizione

{probabilmente è molto legato a quello che ha scritto miuemia..ma nn mi sono soffermato troppo}