Autovettori e matrici diagonalizzabili

[cortex96]

Considera al variare del parametro k la matrice: Ak =
1 1 1
k k k
3 3 3

(i) Stabilisci per quali valori di k la matrice Ak e' diagonalizzabile;
(ii) per i valori di k per cui Ak e' diagonalizzabile, scrivi una base di autovettori e la matrice diagonale
a cui e' simile;
(iii) trova, se ne esistono, i valori di k per cui esiste una base ortonormale di autovettori.

Dopo aver verificato che la matrice è diagonalizzabile per k diverso da -4, come devo procedere per gli altri due punti?

[Magma1]

Guarda attentamente come è fatta la matrice. Che rango ha? Quindi $dim(ker)=?$, in che modo ti può essere utile questo fatto?

[cortex96]

La matrice ha rango 1 ed una base del ker dovrebbe [(-1, 1, 0); (-1, 0 ,1)] quindi con dimensione 2

[Magma1]

"cortex96":La matrice ha rango 1 ed una base del ker dovrebbe [(-1, 1, 0); (-1, 0 ,1)] quindi con dimensione 2

Per definizione di autovalore sai che $f(v)=A*v=lambda v$

Per definizione di $ker$ sai che $f((-1),( 1),( 0))=0((-1),( 1),( 0))$, stessa cosa per l'altro autovettore!

Quindi un autovalore è $lambda=0$ e $Alg(0)=2=mg(0)$

Ora manca solo trovare un autovalore appartenente all'immagine... ma tu sai che l'immagine è generata da...?

[cortex96]

L'immagine dell'applicazione lineare corrisponde al sottospazio generato dalle colonne linearmente indipendenti della matrice A, quindi dovrebbe essere (1, k, 3)?

[Magma1]

Devi tenere in conto che la soma degli autovalori deve essere uguale alla traccia [nota]Corrisponde alla somma delle entrate che compaiono sulla diagonale principale[/nota].

Dato che per ora hai come unico autovalore $0$ di molteplicità doppia, allora l'ultimo autovalore sarà propriamente uguale alla traccia, cioè

$f((1),(1),(1))=(k+4)((1),(1),(1))$

[cortex96]

e invece la matrice diagonale simile come si trova?

[Magma1]

Intanto devi ortonormalizzare la base $B={((1),(1),(1));((-1),( 1),( 0));((-1),( 0),(1)) }$, supponiamo di averlo fatto e chiamiamola $B'$, e sia $E$ la base canonica.

Chiamando $P=M_(B' E)$ la matrice del cambiamento di base, si avrà che

$P^(-1)AP=D=( (k+4 , 0 , 0),( 0,0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$