Autovettori e Jordan Block
Buonasera!
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere un problema sulla diagonalizzazione di una matrice.
La matrice è la seguente:
$ ( ( 2 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 3 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Ora dato che la matrice è triangolare inferiore i suoi autovalori sono i termini sulla diagonale principale, ovvero 2 con molteplicità algebrica pari a 3.
La molteplicità geometrica mi risulta essere pari a 1.
Dunque da ciò posso dedurre che la matrice non è diagonalizzabile poiché mi mancano 2 vettori per generare la base.
Ho dunque calcolato gli autovettori e l'autospazio relativo all'autovalore 2 come segue:
$ { ( v2+v3=0 ),( 3v3=0 ),( 0=0 ):} ={ ( v1=t ),( v2=0 ),( v3=0 ):} $
Da cui mi sono ricavato l'autospazio: $ { t( 1, 0 ,0 ), AA t in R } $
Dato che mi mancano due vettore per creare la matrice che utilizzerà per diagonalizzare quella di partenza, ho cercato il generalized eigenvector(scusate, non so come si chiama in italiano precisamente), il quale dovrebbe darmi un autospazio formato da 2 vettori.
$ { ( u2+u3=1 ),( 3u3=0 ),( 0=0 ):} ) $
Ora il punto è che da qui in poi non riesco ad andare avanti perché non capisco come questo possa generarmi due vettori.
PREMESSA: Non sono molto ferrato con i sistemi lineari quindi probabilmente ho fatto un errore anche sul precedente, errore che non riesco a trovare/capire.
Se qualcuno gentilmente mi spiega un metodo universale con cui posso calcolare questi autoreattori, una volta giunto al sistema, mediante la sostituzione della variabile gliene sarei davvero grato. Ciò che non riesco mai a capire è : con quale criterio scelgo l'equazione da eliminare e la variabile da parametrizzare? Se poi mi ritrovo davanti un sistema come questo quali sono le variabili da parametrizzare?
Grazie in anticipo!!!!!
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere un problema sulla diagonalizzazione di una matrice.
La matrice è la seguente:
$ ( ( 2 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 3 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Ora dato che la matrice è triangolare inferiore i suoi autovalori sono i termini sulla diagonale principale, ovvero 2 con molteplicità algebrica pari a 3.
La molteplicità geometrica mi risulta essere pari a 1.
Dunque da ciò posso dedurre che la matrice non è diagonalizzabile poiché mi mancano 2 vettori per generare la base.
Ho dunque calcolato gli autovettori e l'autospazio relativo all'autovalore 2 come segue:
$ { ( v2+v3=0 ),( 3v3=0 ),( 0=0 ):} ={ ( v1=t ),( v2=0 ),( v3=0 ):} $
Da cui mi sono ricavato l'autospazio: $ { t( 1, 0 ,0 ), AA t in R } $
Dato che mi mancano due vettore per creare la matrice che utilizzerà per diagonalizzare quella di partenza, ho cercato il generalized eigenvector(scusate, non so come si chiama in italiano precisamente), il quale dovrebbe darmi un autospazio formato da 2 vettori.
$ { ( u2+u3=1 ),( 3u3=0 ),( 0=0 ):} ) $
Ora il punto è che da qui in poi non riesco ad andare avanti perché non capisco come questo possa generarmi due vettori.
PREMESSA: Non sono molto ferrato con i sistemi lineari quindi probabilmente ho fatto un errore anche sul precedente, errore che non riesco a trovare/capire.
Se qualcuno gentilmente mi spiega un metodo universale con cui posso calcolare questi autoreattori, una volta giunto al sistema, mediante la sostituzione della variabile gliene sarei davvero grato. Ciò che non riesco mai a capire è : con quale criterio scelgo l'equazione da eliminare e la variabile da parametrizzare? Se poi mi ritrovo davanti un sistema come questo quali sono le variabili da parametrizzare?
Grazie in anticipo!!!!!
Risposte
Non capisco perché vuoi cercare una matrice che diagonalizzi quella di partenza, visto che poche righe prima avevi dimostrato che non si può fare. Forse cerchi la forma a blocchi di Jordan (dal titolo...)?
Comunque credo che generalized eigenvector si possa tradurre semplicemente con autovettore generalizzato.
Comunque credo che generalized eigenvector si possa tradurre semplicemente con autovettore generalizzato.
"phaerrax":
Non capisco perché vuoi cercare una matrice che diagonalizzi quella di partenza, visto che poche righe prima avevi dimostrato che non si può fare. Forse cerchi la forma a blocchi di Jordan (dal titolo...)?
Comunque credo che generalized eigenvector si possa tradurre semplicemente con autovettore generalizzato.
Si sto cercando la Jordan Block! Solo che non riesco a trovare la matrice degli autovettori!
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